Trojuholník 59 61 47

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 59
b = 61
c = 47

Obsah trojuholníka: S = 1296,17659863151
Obvod trojuholníka: o = 167
Semiperimeter (poloobvod): s = 83,5

Uhol ∠ A = α = 64,7166245824° = 64°42'58″ = 1,13295115692 rad
Uhol ∠ B = β = 69,20546769737° = 69°12'17″ = 1,2087849471 rad
Uhol ∠ C = γ = 46,07990772022° = 46°4'45″ = 0,80442316135 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 43,93881690276
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 42,49875733218
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 55,15664249496

Ťažnica: t_a = 45,76884389072
Ťažnica: t_b = 43,75878564374
Ťažnica: t_c = 55,21554869579

Polomer vpísanej kružnice: r = 15,52330657044
Polomer opísanej kružnice: R = 32,62553922665

Súradnice vrcholov: A[47; 0] B[0; 0] C[20,94768085106; 55,15664249496]
Ťažisko: T[22,64989361702; 18,38554749832]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[23,5; 22,63110896898]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[22,5; 15,52330657044]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 115,2843754176° = 115°17'1″ = 1,13295115692 rad
∠ B' = β' = 110,79553230263° = 110°47'43″ = 1,2087849471 rad
∠ C' = γ' = 133,92109227978° = 133°55'15″ = 0,80442316135 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 59 b = 61 c = 47

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 59 + 61 + 47 = 167

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 6 7}{2} = 83, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 83, 5 (83, 5 - 59) (83, 5 - 61) (83, 5 - 47) S = 1680072, 19 = 1296, 18

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 2 9 6 , 1 8}{5 9} = 43, 94 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 2 9 6 , 1 8}{6 1} = 42, 5 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 2 9 6 , 1 8}{4 7} = 55, 16

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{6 1 ^{2} + 4 7 ^{2} - 5 9 ^{2}}{2 \cdot 6 1 \cdot 4 7}) = 64 ° 4 2^{'} 58 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 9 ^{2} + 4 7 ^{2} - 6 1 ^{2}}{2 \cdot 5 9 \cdot 4 7}) = 69 ° 1 2^{'} 17 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 64 ° 4 2^{'} 58 " - 69 ° 1 2^{'} 17 " = 46 ° 4^{'} 45 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 2 9 6 , 1 8}{8 3 , 5} = 15, 52

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 9 \cdot 6 1 \cdot 4 7}{4 \cdot 1 5 , 5 2 3 \cdot 8 3 , 5} = 32, 63

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 1 ^{2} + 2 \cdot 4 7 ^{2} - 5 9 ^{2}}{2} = 45, 768 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 7 ^{2} + 2 \cdot 5 9 ^{2} - 6 1 ^{2}}{2} = 43, 758 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 9 ^{2} + 2 \cdot 6 1 ^{2} - 4 7 ^{2}}{2} = 55, 215

Vypočítať ďaľší trojuholník