Trojuholník 6 11 11
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 6
b = 11
c = 11
Obsah trojuholníka: S = 31,74990157328
Obvod trojuholníka: o = 28
Semiperimeter (poloobvod): s = 14
Uhol ∠ A = α = 31,65332402637° = 31°39'12″ = 0,55224532615 rad
Uhol ∠ B = β = 74,17333798681° = 74°10'24″ = 1,2954569696 rad
Uhol ∠ C = γ = 74,17333798681° = 74°10'24″ = 1,2954569696 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 10,58330052443
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 5,77325483151
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 5,77325483151
Ťažnica: ta = 10,58330052443
Ťažnica: tb = 6,94662219947
Ťažnica: tc = 6,94662219947
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,26877868381
Polomer opísanej kružnice: R = 5,71767126543
Súradnice vrcholov: A[11; 0] B[0; 0] C[1,63663636364; 5,77325483151]
Ťažisko: T[4,21221212121; 1,92441827717]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5,5; 1,55991034512]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3; 2,26877868381]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 148,34767597363° = 148°20'48″ = 0,55224532615 rad
∠ B' = β' = 105,82766201319° = 105°49'36″ = 1,2954569696 rad
∠ C' = γ' = 105,82766201319° = 105°49'36″ = 1,2954569696 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=6 b=11 c=11
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=6+11+11=28
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=228=14
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=14(14−6)(14−11)(14−11) S=1008=31,75
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=62⋅ 31,75=10,58 vb=b2 S=112⋅ 31,75=5,77 vc=c2 S=112⋅ 31,75=5,77
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 11⋅ 11112+112−62)=31°39′12" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 6⋅ 1162+112−112)=74°10′24" γ=180°−α−β=180°−31°39′12"−74°10′24"=74°10′24"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=1431,75=2,27
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,268⋅ 146⋅ 11⋅ 11=5,72
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 112+2⋅ 112−62=10,583 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 112+2⋅ 62−112=6,946 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 62+2⋅ 112−112=6,946
Vypočítať ďaľší trojuholník