Trojuholník 6 12 14
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 6
b = 12
c = 14
Obsah trojuholníka: S = 35,777708764
Obvod trojuholníka: o = 32
Semiperimeter (poloobvod): s = 16
Uhol ∠ A = α = 25,20987652968° = 25°12'32″ = 0,44399759548 rad
Uhol ∠ B = β = 58,41218644948° = 58°24'43″ = 1,01994793577 rad
Uhol ∠ C = γ = 96,37993702084° = 96°22'46″ = 1,68221373411 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 11,926569588
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 5,963284794
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 5,111101252
Ťažnica: ta = 12,68985775404
Ťažnica: tb = 8,944427191
Ťažnica: tc = 6,40331242374
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,23660679775
Polomer opísanej kružnice: R = 7,04436141291
Súradnice vrcholov: A[14; 0] B[0; 0] C[3,14328571429; 5,111101252]
Ťažisko: T[5,71442857143; 1,704367084]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7; -0,78326237921]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4; 2,23660679775]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 154,79112347032° = 154°47'28″ = 0,44399759548 rad
∠ B' = β' = 121,58881355052° = 121°35'17″ = 1,01994793577 rad
∠ C' = γ' = 83,62106297916° = 83°37'14″ = 1,68221373411 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=6 b=12 c=14
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=6+12+14=32
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=232=16
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=16(16−6)(16−12)(16−14) S=1280=35,78
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=62⋅ 35,78=11,93 vb=b2 S=122⋅ 35,78=5,96 vc=c2 S=142⋅ 35,78=5,11
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 12⋅ 14122+142−62)=25°12′32" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 6⋅ 1462+142−122)=58°24′43" γ=180°−α−β=180°−25°12′32"−58°24′43"=96°22′46"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=1635,78=2,24
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,236⋅ 166⋅ 12⋅ 14=7,04
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 122+2⋅ 142−62=12,689 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 142+2⋅ 62−122=8,944 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 62+2⋅ 122−142=6,403
Vypočítať ďaľší trojuholník