Trojuholník 6 21 23
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 6
b = 21
c = 23
Obsah trojuholníka: S = 61,64441400297
Obvod trojuholníka: o = 50
Semiperimeter (poloobvod): s = 25
Uhol ∠ A = α = 14,78987097356° = 14°47'19″ = 0,2588111677 rad
Uhol ∠ B = β = 63,30327985505° = 63°18'10″ = 1,10548422604 rad
Uhol ∠ C = γ = 101,90884917139° = 101°54'31″ = 1,77986387161 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 20,54880466766
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 5,8710870479
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 5,36603600026
Ťažnica: ta = 21,81774242293
Ťažnica: tb = 13,12444047484
Ťažnica: tc = 10,3087764064
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,46657656012
Polomer opísanej kružnice: R = 11,75329419609
Súradnice vrcholov: A[23; 0] B[0; 0] C[2,69656521739; 5,36603600026]
Ťažisko: T[8,56552173913; 1,78767866675]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11,5; -2,42552102459]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4; 2,46657656012]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 165,21112902644° = 165°12'41″ = 0,2588111677 rad
∠ B' = β' = 116,69772014495° = 116°41'50″ = 1,10548422604 rad
∠ C' = γ' = 78,09215082861° = 78°5'29″ = 1,77986387161 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=6 b=21 c=23
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=6+21+23=50
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=250=25
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=25(25−6)(25−21)(25−23) S=3800=61,64
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=62⋅ 61,64=20,55 vb=b2 S=212⋅ 61,64=5,87 vc=c2 S=232⋅ 61,64=5,36
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 21⋅ 23212+232−62)=14°47′19" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 6⋅ 2362+232−212)=63°18′10" γ=180°−α−β=180°−14°47′19"−63°18′10"=101°54′31"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=2561,64=2,47
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,466⋅ 256⋅ 21⋅ 23=11,75
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 212+2⋅ 232−62=21,817 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 232+2⋅ 62−212=13,124 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 62+2⋅ 212−232=10,308
Vypočítať ďaľší trojuholník