Trojuholník 6 23 27
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 6
b = 23
c = 27
Obsah trojuholníka: S = 55,4987747702
Obvod trojuholníka: o = 56
Semiperimeter (poloobvod): s = 28
Uhol ∠ A = α = 10,29661852424° = 10°17'46″ = 0,18797023329 rad
Uhol ∠ B = β = 43,24879853748° = 43°14'53″ = 0,75548197396 rad
Uhol ∠ C = γ = 126,45658293828° = 126°27'21″ = 2,20770705811 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 18,4999249234
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 4,82658911045
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 4,11109442742
Ťažnica: ta = 24.9899799196
Ťažnica: tb = 15,81992920196
Ťažnica: tc = 10,01224921973
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,98220624179
Polomer opísanej kružnice: R = 16,784446493
Súradnice vrcholov: A[27; 0] B[0; 0] C[4,37703703704; 4,11109442742]
Ťažisko: T[10,45767901235; 1,37703147581]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[13,5; -9,9733377712]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5; 1,98220624179]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 169,70438147576° = 169°42'14″ = 0,18797023329 rad
∠ B' = β' = 136,75220146252° = 136°45'7″ = 0,75548197396 rad
∠ C' = γ' = 53,54441706172° = 53°32'39″ = 2,20770705811 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=6 b=23 c=27
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=6+23+27=56
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=256=28
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=28(28−6)(28−23)(28−27) S=3080=55,5
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=62⋅ 55,5=18,5 vb=b2 S=232⋅ 55,5=4,83 vc=c2 S=272⋅ 55,5=4,11
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 23⋅ 27232+272−62)=10°17′46" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 6⋅ 2762+272−232)=43°14′53" γ=180°−α−β=180°−10°17′46"−43°14′53"=126°27′21"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=2855,5=1,98
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,982⋅ 286⋅ 23⋅ 27=16,78
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 232+2⋅ 272−62=24,9 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 272+2⋅ 62−232=15,819 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 62+2⋅ 232−272=10,012
Vypočítať ďaľší trojuholník