Trojuholník 6 6 11
Tupouhlý rovnoramenný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 6
b = 6
c = 11
Obsah trojuholníka: S = 13,18985366891
Obvod trojuholníka: o = 23
Semiperimeter (poloobvod): s = 11,5
Uhol ∠ A = α = 23,55664643091° = 23°33'23″ = 0,41111378623 rad
Uhol ∠ B = β = 23,55664643091° = 23°33'23″ = 0,41111378623 rad
Uhol ∠ C = γ = 132,88770713818° = 132°53'13″ = 2,31993169289 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 4,39661788964
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 4,39661788964
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 2,39879157617
Ťažnica: ta = 8,33766660003
Ťažnica: tb = 8,33766660003
Ťažnica: tc = 2,39879157617
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,14768292773
Polomer opísanej kružnice: R = 7,50765189061
Súradnice vrcholov: A[11; 0] B[0; 0] C[5,5; 2,39879157617]
Ťažisko: T[5,5; 0,79993052539]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5,5; -5,10986031444]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,5; 1,14768292773]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 156,44435356909° = 156°26'37″ = 0,41111378623 rad
∠ B' = β' = 156,44435356909° = 156°26'37″ = 0,41111378623 rad
∠ C' = γ' = 47,11329286182° = 47°6'47″ = 2,31993169289 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=6 b=6 c=11
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=6+6+11=23
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=223=11,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=11,5(11,5−6)(11,5−6)(11,5−11) S=173,94=13,19
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=62⋅ 13,19=4,4 vb=b2 S=62⋅ 13,19=4,4 vc=c2 S=112⋅ 13,19=2,4
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 6⋅ 1162+112−62)=23°33′23" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 6⋅ 1162+112−62)=23°33′23" γ=180°−α−β=180°−23°33′23"−23°33′23"=132°53′13"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=11,513,19=1,15
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,147⋅ 11,56⋅ 6⋅ 11=7,51
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 62+2⋅ 112−62=8,337 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 112+2⋅ 62−62=8,337 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 62+2⋅ 62−112=2,398
Vypočítať ďaľší trojuholník