Trojuholník 6 6 9
Tupouhlý rovnoramenný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 6
b = 6
c = 9
Obsah trojuholníka: S = 17,85988213497
Obvod trojuholníka: o = 21
Semiperimeter (poloobvod): s = 10,5
Uhol ∠ A = α = 41,41096221093° = 41°24'35″ = 0,72327342478 rad
Uhol ∠ B = β = 41,41096221093° = 41°24'35″ = 0,72327342478 rad
Uhol ∠ C = γ = 97,18107557815° = 97°10'51″ = 1,6966124158 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 5,95329404499
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 5,95329404499
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 3,96986269666
Ťažnica: ta = 7,03656236397
Ťažnica: tb = 7,03656236397
Ťažnica: tc = 3,96986269666
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,70108401285
Polomer opísanej kružnice: R = 4,53655736761
Súradnice vrcholov: A[9; 0] B[0; 0] C[4,5; 3,96986269666]
Ťažisko: T[4,5; 1,32328756555]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[4,5; -0,56769467095]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4,5; 1,70108401285]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 138,59903778907° = 138°35'25″ = 0,72327342478 rad
∠ B' = β' = 138,59903778907° = 138°35'25″ = 0,72327342478 rad
∠ C' = γ' = 82,81992442185° = 82°49'9″ = 1,6966124158 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=6 b=6 c=9
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=6+6+9=21
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=221=10,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=10,5(10,5−6)(10,5−6)(10,5−9) S=318,94=17,86
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=62⋅ 17,86=5,95 vb=b2 S=62⋅ 17,86=5,95 vc=c2 S=92⋅ 17,86=3,97
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 6⋅ 962+92−62)=41°24′35" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 6⋅ 962+92−62)=41°24′35" γ=180°−α−β=180°−41°24′35"−41°24′35"=97°10′51"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=10,517,86=1,7
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,701⋅ 10,56⋅ 6⋅ 9=4,54
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 62+2⋅ 92−62=7,036 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 92+2⋅ 62−62=7,036 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 62+2⋅ 62−92=3,969
Vypočítať ďaľší trojuholník