Trojuholník 6 8 13
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 6
b = 8
c = 13
Obsah trojuholníka: S = 16,6866446596
Obvod trojuholníka: o = 27
Semiperimeter (poloobvod): s = 13,5
Uhol ∠ A = α = 18,71769506574° = 18°43'1″ = 0,32766724149 rad
Uhol ∠ B = β = 25,33216750167° = 25°19'54″ = 0,44221211341 rad
Uhol ∠ C = γ = 135,95113743259° = 135°57'5″ = 2,37327991046 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 5,56221488653
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 4,1721611649
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 2,56771456301
Ťažnica: ta = 10,36882206767
Ťažnica: tb = 9,30105376189
Ťažnica: tc = 2,78438821814
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,23660330812
Polomer opísanej kružnice: R = 9,34989047595
Súradnice vrcholov: A[13; 0] B[0; 0] C[5,42330769231; 2,56771456301]
Ťažisko: T[6,1411025641; 0,856571521]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6,5; -6,72195252959]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,5; 1,23660330812]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 161,28330493426° = 161°16'59″ = 0,32766724149 rad
∠ B' = β' = 154,66883249833° = 154°40'6″ = 0,44221211341 rad
∠ C' = γ' = 44,04986256741° = 44°2'55″ = 2,37327991046 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=6 b=8 c=13
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=6+8+13=27
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=227=13,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=13,5(13,5−6)(13,5−8)(13,5−13) S=278,44=16,69
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=62⋅ 16,69=5,56 vb=b2 S=82⋅ 16,69=4,17 vc=c2 S=132⋅ 16,69=2,57
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1382+132−62)=18°43′1" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 6⋅ 1362+132−82)=25°19′54" γ=180°−α−β=180°−18°43′1"−25°19′54"=135°57′5"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=13,516,69=1,24
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,236⋅ 13,56⋅ 8⋅ 13=9,35
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 82+2⋅ 132−62=10,368 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 132+2⋅ 62−82=9,301 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 62+2⋅ 82−132=2,784
Vypočítať ďaľší trojuholník