Trojuholník 6 8 9
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 6
b = 8
c = 9
Obsah trojuholníka: S = 23,52552523897
Obvod trojuholníka: o = 23
Semiperimeter (poloobvod): s = 11,5
Uhol ∠ A = α = 40,80444376906° = 40°48'16″ = 0,71221717871 rad
Uhol ∠ B = β = 60,61107200521° = 60°36'39″ = 1,05878566269 rad
Uhol ∠ C = γ = 78,58548422573° = 78°35'5″ = 1,37215642395 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 7,84217507966
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 5,88113130974
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 5,22878338644
Ťažnica: ta = 7,96986887253
Ťažnica: tb = 6,51992024052
Ťažnica: tc = 5,45443560573
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,04656741208
Polomer opísanej kružnice: R = 4,59108115335
Súradnice vrcholov: A[9; 0] B[0; 0] C[2,94444444444; 5,22878338644]
Ťažisko: T[3,98114814815; 1,74326112881]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[4,5; 0,9098598116]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3,5; 2,04656741208]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 139,19655623094° = 139°11'44″ = 0,71221717871 rad
∠ B' = β' = 119,38992799479° = 119°23'21″ = 1,05878566269 rad
∠ C' = γ' = 101,41551577427° = 101°24'55″ = 1,37215642395 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=6 b=8 c=9
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=6+8+9=23
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=223=11,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=11,5(11,5−6)(11,5−8)(11,5−9) S=553,44=23,53
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=62⋅ 23,53=7,84 vb=b2 S=82⋅ 23,53=5,88 vc=c2 S=92⋅ 23,53=5,23
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 8⋅ 982+92−62)=40°48′16" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 6⋅ 962+92−82)=60°36′39" γ=180°−α−β=180°−40°48′16"−60°36′39"=78°35′5"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=11,523,53=2,05
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,046⋅ 11,56⋅ 8⋅ 9=4,59
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 82+2⋅ 92−62=7,969 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 92+2⋅ 62−82=6,519 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 62+2⋅ 82−92=5,454
Vypočítať ďaľší trojuholník