Trojuholník 60 102 56.73

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 60
b = 102
c = 56,73

Obsah trojuholníka: S = 1446,68798702765
Obvod trojuholníka: o = 218,73
Semiperimeter (poloobvod): s = 109,365

Uhol ∠ A = α = 30,00114833992° = 30°5″ = 0,52436246658 rad
Uhol ∠ B = β = 121,78441846275° = 121°47'3″ = 2,12655349986 rad
Uhol ∠ C = γ = 28,21443319733° = 28°12'52″ = 0,49224329892 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 48,22326623425
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 28,36662719662
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 51,00222869831

Ťažnica: t_a = 76,88439804511
Ťažnica: t_b = 28,42879167369
Ťažnica: t_c = 78,72437370493

Polomer vpísanej kružnice: r = 13,22879968022
Polomer opísanej kružnice: R = 59,99773095523

Súradnice vrcholov: A[56,73; 0] B[0; 0] C[-31,60332707562; 51,00222869831]
Ťažisko: T[8,37655764146; 17,00107623277]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[28,365; 52,86987424525]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7,365; 13,22879968022]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 149,99985166008° = 149°59'55″ = 0,52436246658 rad
∠ B' = β' = 58,21658153725° = 58°12'57″ = 2,12655349986 rad
∠ C' = γ' = 151,78656680267° = 151°47'8″ = 0,49224329892 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 60 b = 102 c = 56, 73

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 60 + 102 + 56, 73 = 218, 73

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 1 8 , 7 3}{2} = 109, 37

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 109, 37 (109, 37 - 60) (109, 37 - 102) (109, 37 - 56, 73) S = 2092882, 65 = 1446, 68

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 4 4 6 , 6 8}{6 0} = 48, 22 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 4 4 6 , 6 8}{1 0 2} = 28, 37 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 4 4 6 , 6 8}{5 6 , 7 3} = 51

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 0 2 ^{2} + 5 6 , 7 3 ^{2} - 6 0 ^{2}}{2 \cdot 1 0 2 \cdot 5 6 , 7 3}) = 30 ° 5 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{6 0 ^{2} + 5 6 , 7 3 ^{2} - 1 0 2 ^{2}}{2 \cdot 6 0 \cdot 5 6 , 7 3}) = 121 ° 4 7^{'} 3 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 30 ° 5 " - 121 ° 4 7^{'} 3 " = 28 ° 1 2^{'} 52 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 4 4 6 , 6 8}{1 0 9 , 3 7} = 13, 23

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{6 0 \cdot 1 0 2 \cdot 5 6 , 7 3}{4 \cdot 1 3 , 2 2 8 \cdot 1 0 9 , 3 6 5} = 60

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 2 ^{2} + 2 \cdot 5 6 , 7 3 ^{2} - 6 0 ^{2}}{2} = 76, 884 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 6 , 7 3 ^{2} + 2 \cdot 6 0 ^{2} - 1 0 2 ^{2}}{2} = 28, 428 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 0 ^{2} + 2 \cdot 1 0 2 ^{2} - 5 6 , 7 3 ^{2}}{2} = 78, 724

Vypočítať ďaľší trojuholník