Trojuholník 7 10 10
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 7
b = 10
c = 10
Obsah trojuholníka: S = 32,78662394916
Obvod trojuholníka: o = 27
Semiperimeter (poloobvod): s = 13,5
Uhol ∠ A = α = 40,97546302294° = 40°58'29″ = 0,71551422073 rad
Uhol ∠ B = β = 69,51326848853° = 69°30'46″ = 1,21332252231 rad
Uhol ∠ C = γ = 69,51326848853° = 69°30'46″ = 1,21332252231 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 9,36774969976
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 6,55772478983
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 6,55772478983
Ťažnica: ta = 9,36774969976
Ťažnica: tb = 7,03656236397
Ťažnica: tc = 7,03656236397
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,42986103327
Polomer opísanej kružnice: R = 5,33876051268
Súradnice vrcholov: A[10; 0] B[0; 0] C[2,45; 6,55772478983]
Ťažisko: T[4,15; 2,18657492994]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5; 1,86881617944]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3,5; 2,42986103327]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 139,02553697706° = 139°1'31″ = 0,71551422073 rad
∠ B' = β' = 110,48773151147° = 110°29'14″ = 1,21332252231 rad
∠ C' = γ' = 110,48773151147° = 110°29'14″ = 1,21332252231 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=7 b=10 c=10
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=7+10+10=27
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=227=13,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=13,5(13,5−7)(13,5−10)(13,5−10) S=1074,94=32,79
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 32,79=9,37 vb=b2 S=102⋅ 32,79=6,56 vc=c2 S=102⋅ 32,79=6,56
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 10⋅ 10102+102−72)=40°58′29" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 1072+102−102)=69°30′46" γ=180°−α−β=180°−40°58′29"−69°30′46"=69°30′46"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=13,532,79=2,43
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,429⋅ 13,57⋅ 10⋅ 10=5,34
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 102+2⋅ 102−72=9,367 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 102+2⋅ 72−102=7,036 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 102−102=7,036
Vypočítať ďaľší trojuholník