Trojuholník 7 10 11
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 7
b = 10
c = 11
Obsah trojuholníka: S = 34,2932856399
Obvod trojuholníka: o = 28
Semiperimeter (poloobvod): s = 14
Uhol ∠ A = α = 38,57326508222° = 38°34'22″ = 0,67332197581 rad
Uhol ∠ B = β = 62,96443082106° = 62°57'52″ = 1,09989344895 rad
Uhol ∠ C = γ = 78,46330409672° = 78°27'47″ = 1,3699438406 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 9,79879589711
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 6,85985712798
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 6,23550647998
Ťažnica: ta = 9,91221138008
Ťažnica: tb = 7,74659666924
Ťažnica: tc = 6,65220673478
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,44994897428
Polomer opísanej kružnice: R = 5,61334139939
Súradnice vrcholov: A[11; 0] B[0; 0] C[3,18218181818; 6,23550647998]
Ťažisko: T[4,72772727273; 2,07883549333]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5,5; 1,12326827988]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4; 2,44994897428]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 141,42773491778° = 141°25'38″ = 0,67332197581 rad
∠ B' = β' = 117,03656917894° = 117°2'8″ = 1,09989344895 rad
∠ C' = γ' = 101,53769590328° = 101°32'13″ = 1,3699438406 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=7 b=10 c=11
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=7+10+11=28
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=228=14
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=14(14−7)(14−10)(14−11) S=1176=34,29
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 34,29=9,8 vb=b2 S=102⋅ 34,29=6,86 vc=c2 S=112⋅ 34,29=6,24
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 10⋅ 11102+112−72)=38°34′22" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 1172+112−102)=62°57′52" γ=180°−α−β=180°−38°34′22"−62°57′52"=78°27′47"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=1434,29=2,45
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,449⋅ 147⋅ 10⋅ 11=5,61
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 102+2⋅ 112−72=9,912 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 112+2⋅ 72−102=7,746 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 102−112=6,652
Vypočítať ďaľší trojuholník