Trojuholník 7 10 12
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 7
b = 10
c = 12
Obsah trojuholníka: S = 34,97876714491
Obvod trojuholníka: o = 29
Semiperimeter (poloobvod): s = 14,5
Uhol ∠ A = α = 35,65990876961° = 35°39'33″ = 0,62223684886 rad
Uhol ∠ B = β = 56,38876254015° = 56°23'15″ = 0,98441497206 rad
Uhol ∠ C = γ = 87,95332869023° = 87°57'12″ = 1,53550744444 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 9,9943620414
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 6,99655342898
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 5,83296119082
Ťažnica: ta = 10,47661634199
Ťažnica: tb = 8,45657672626
Ťažnica: tc = 6,2054836823
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,41222532034
Polomer opísanej kružnice: R = 6,00438301951
Súradnice vrcholov: A[12; 0] B[0; 0] C[3,875; 5,83296119082]
Ťažisko: T[5,29216666667; 1,94332039694]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6; 0,2144422507]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4,5; 2,41222532034]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 144,34109123039° = 144°20'27″ = 0,62223684886 rad
∠ B' = β' = 123,61223745985° = 123°36'45″ = 0,98441497206 rad
∠ C' = γ' = 92,04767130977° = 92°2'48″ = 1,53550744444 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=7 b=10 c=12
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=7+10+12=29
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=229=14,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=14,5(14,5−7)(14,5−10)(14,5−12) S=1223,44=34,98
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 34,98=9,99 vb=b2 S=102⋅ 34,98=7 vc=c2 S=122⋅ 34,98=5,83
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 10⋅ 12102+122−72)=35°39′33" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 1272+122−102)=56°23′15" γ=180°−α−β=180°−35°39′33"−56°23′15"=87°57′12"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=14,534,98=2,41
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,412⋅ 14,57⋅ 10⋅ 12=6
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 102+2⋅ 122−72=10,476 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 122+2⋅ 72−102=8,456 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 102−122=6,205
Vypočítať ďaľší trojuholník