Trojuholník 7 12 14
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 7
b = 12
c = 14
Obsah trojuholníka: S = 41,99333030375
Obvod trojuholníka: o = 33
Semiperimeter (poloobvod): s = 16,5
Uhol ∠ A = α = 29,99547255274° = 29°59'41″ = 0,52435067187 rad
Uhol ∠ B = β = 58,98220811689° = 58°58'55″ = 1,02994315161 rad
Uhol ∠ C = γ = 91,02331933037° = 91°1'23″ = 1,58986544188 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 11,99880865821
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 6,99988838396
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 5,99990432911
Ťažnica: ta = 12,56598566871
Ťažnica: tb = 9,30105376189
Ťažnica: tc = 6,8922024376
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,54550486689
Polomer opísanej kružnice: R = 7,00111163384
Súradnice vrcholov: A[14; 0] B[0; 0] C[3,60771428571; 5,99990432911]
Ťažisko: T[5,8699047619; 21,999681097]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7; -0,12550199346]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4,5; 2,54550486689]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 150,00552744726° = 150°19″ = 0,52435067187 rad
∠ B' = β' = 121,01879188311° = 121°1'5″ = 1,02994315161 rad
∠ C' = γ' = 88,97768066963° = 88°58'37″ = 1,58986544188 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=7 b=12 c=14
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=7+12+14=33
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=233=16,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=16,5(16,5−7)(16,5−12)(16,5−14) S=1763,44=41,99
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 41,99=12 vb=b2 S=122⋅ 41,99=7 vc=c2 S=142⋅ 41,99=6
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 12⋅ 14122+142−72)=29°59′41" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 1472+142−122)=58°58′55" γ=180°−α−β=180°−29°59′41"−58°58′55"=91°1′23"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=16,541,99=2,55
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,545⋅ 16,57⋅ 12⋅ 14=7
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 122+2⋅ 142−72=12,56 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 142+2⋅ 72−122=9,301 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 122−142=6,892
Vypočítať ďaľší trojuholník