Trojuholník 7 12 15
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 7
b = 12
c = 15
Obsah trojuholníka: S = 41,23110562562
Obvod trojuholníka: o = 34
Semiperimeter (poloobvod): s = 17
Uhol ∠ A = α = 27,26660444507° = 27°15'58″ = 0,47658822497 rad
Uhol ∠ B = β = 51,75333801217° = 51°45'12″ = 0,90332668822 rad
Uhol ∠ C = γ = 100,98105754276° = 100°58'50″ = 1,76224435218 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 11,78803017875
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 6,87218427094
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 5,49774741675
Ťažnica: ta = 13,12444047484
Ťažnica: tb = 10,05498756211
Ťažnica: tc = 6,34442887702
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,42553562504
Polomer opísanej kružnice: R = 7,64398721886
Súradnice vrcholov: A[15; 0] B[0; 0] C[4,33333333333; 5,49774741675]
Ťažisko: T[6,44444444444; 1,83224913892]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7,5; -1,45552137502]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5; 2,42553562504]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 152,73439555493° = 152°44'2″ = 0,47658822497 rad
∠ B' = β' = 128,24766198784° = 128°14'48″ = 0,90332668822 rad
∠ C' = γ' = 79,01994245724° = 79°1'10″ = 1,76224435218 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=7 b=12 c=15
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=7+12+15=34
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=234=17
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=17(17−7)(17−12)(17−15) S=1700=41,23
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 41,23=11,78 vb=b2 S=122⋅ 41,23=6,87 vc=c2 S=152⋅ 41,23=5,5
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 12⋅ 15122+152−72)=27°15′58" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 1572+152−122)=51°45′12" γ=180°−α−β=180°−27°15′58"−51°45′12"=100°58′50"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=1741,23=2,43
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,425⋅ 177⋅ 12⋅ 15=7,64
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 122+2⋅ 152−72=13,124 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 152+2⋅ 72−122=10,05 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 122−152=6,344
Vypočítať ďaľší trojuholník