Trojuholník 7 14 15
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 7
b = 14
c = 15
Obsah trojuholníka: S = 48,74442304278
Obvod trojuholníka: o = 36
Semiperimeter (poloobvod): s = 18
Uhol ∠ A = α = 27,66604498993° = 27°39'38″ = 0,48327659233 rad
Uhol ∠ B = β = 68,19662520106° = 68°11'47″ = 1,19902491351 rad
Uhol ∠ C = γ = 84,14332980901° = 84°8'36″ = 1,46985775952 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 13,92769229794
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 6,96334614897
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 6,49992307237
Ťažnica: ta = 14,08801278403
Ťažnica: tb = 9,38108315196
Ťažnica: tc = 8,1399410298
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,70880128015
Polomer opísanej kružnice: R = 7,53993538225
Súradnice vrcholov: A[15; 0] B[0; 0] C[2,6; 6,49992307237]
Ťažisko: T[5,86766666667; 2,16664102412]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7,5; 0,76993218186]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4; 2,70880128015]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 152,34395501007° = 152°20'22″ = 0,48327659233 rad
∠ B' = β' = 111,80437479894° = 111°48'13″ = 1,19902491351 rad
∠ C' = γ' = 95,85767019099° = 95°51'24″ = 1,46985775952 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=7 b=14 c=15
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=7+14+15=36
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=236=18
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=18(18−7)(18−14)(18−15) S=2376=48,74
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 48,74=13,93 vb=b2 S=142⋅ 48,74=6,96 vc=c2 S=152⋅ 48,74=6,5
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 14⋅ 15142+152−72)=27°39′38" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 1572+152−142)=68°11′47" γ=180°−α−β=180°−27°39′38"−68°11′47"=84°8′36"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=1848,74=2,71
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,708⋅ 187⋅ 14⋅ 15=7,54
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 142+2⋅ 152−72=14,08 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 152+2⋅ 72−142=9,381 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 142−152=8,139
Vypočítať ďaľší trojuholník