Trojuholník 7 16 22
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 7
b = 16
c = 22
Obsah trojuholníka: S = 33,66765635312
Obvod trojuholníka: o = 45
Semiperimeter (poloobvod): s = 22,5
Uhol ∠ A = α = 11,02879186667° = 11°1'41″ = 0,19224734904 rad
Uhol ∠ B = β = 25,92771561696° = 25°55'38″ = 0,45325142408 rad
Uhol ∠ C = γ = 143,04549251637° = 143°2'42″ = 2,49766049224 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 9,61990181518
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 4,20883204414
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 3,06105966847
Ťažnica: ta = 18,91442803194
Ťažnica: tb = 14,23302494708
Ťažnica: tc = 5,61224860802
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,49662917125
Polomer opísanej kružnice: R = 18,29770857548
Súradnice vrcholov: A[22; 0] B[0; 0] C[6,29554545455; 3,06105966847]
Ťažisko: T[9,43218181818; 1,02201988949]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11; -14,62113319201]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,5; 1,49662917125]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 168,97220813333° = 168°58'19″ = 0,19224734904 rad
∠ B' = β' = 154,07328438304° = 154°4'22″ = 0,45325142408 rad
∠ C' = γ' = 36,95550748363° = 36°57'18″ = 2,49766049224 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=7 b=16 c=22
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=7+16+22=45
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=245=22,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=22,5(22,5−7)(22,5−16)(22,5−22) S=1133,44=33,67
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 33,67=9,62 vb=b2 S=162⋅ 33,67=4,21 vc=c2 S=222⋅ 33,67=3,06
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 16⋅ 22162+222−72)=11°1′41" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 2272+222−162)=25°55′38" γ=180°−α−β=180°−11°1′41"−25°55′38"=143°2′42"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=22,533,67=1,5
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,496⋅ 22,57⋅ 16⋅ 22=18,3
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 162+2⋅ 222−72=18,914 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 222+2⋅ 72−162=14,23 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 162−222=5,612
Vypočítať ďaľší trojuholník