Trojuholník 7 22 25
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 7
b = 22
c = 25
Obsah trojuholníka: S = 73,48546922835
Obvod trojuholníka: o = 54
Semiperimeter (poloobvod): s = 27
Uhol ∠ A = α = 15,49987327566° = 15°29'55″ = 0,27105039165 rad
Uhol ∠ B = β = 57,12216504356° = 57°7'18″ = 0,99769608743 rad
Uhol ∠ C = γ = 107,38796168078° = 107°22'47″ = 1,87441278628 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 20,99656263667
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 6,68804265712
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 5,87987753827
Ťažnica: ta = 23,28662620444
Ťažnica: tb = 14,69769384567
Ťažnica: tc = 10,5
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,72216552698
Polomer opísanej kružnice: R = 13,09879659857
Súradnice vrcholov: A[25; 0] B[0; 0] C[3,8; 5,87987753827]
Ťažisko: T[9,6; 1,96595917942]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12,5; -3,91223794503]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5; 2,72216552698]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 164,50112672434° = 164°30'5″ = 0,27105039165 rad
∠ B' = β' = 122,87883495644° = 122°52'42″ = 0,99769608743 rad
∠ C' = γ' = 72,62203831922° = 72°37'13″ = 1,87441278628 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=7 b=22 c=25
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=7+22+25=54
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=254=27
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=27(27−7)(27−22)(27−25) S=5400=73,48
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 73,48=21 vb=b2 S=222⋅ 73,48=6,68 vc=c2 S=252⋅ 73,48=5,88
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 22⋅ 25222+252−72)=15°29′55" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 2572+252−222)=57°7′18" γ=180°−α−β=180°−15°29′55"−57°7′18"=107°22′47"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=2773,48=2,72
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,722⋅ 277⋅ 22⋅ 25=13,1
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 222+2⋅ 252−72=23,286 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 252+2⋅ 72−222=14,697 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 222−252=10,5
Vypočítať ďaľší trojuholník