Trojuholník 7 24 30
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 7
b = 24
c = 30
Obsah trojuholníka: S = 48,26442466014
Obvod trojuholníka: o = 61
Semiperimeter (poloobvod): s = 30,5
Uhol ∠ A = α = 7,70546928237° = 7°42'17″ = 0,13444722576 rad
Uhol ∠ B = β = 27,36551372914° = 27°21'55″ = 0,4787611746 rad
Uhol ∠ C = γ = 144,93301698849° = 144°55'49″ = 2,532950865 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 13,79897847433
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 4,02220205501
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 3,21876164401
Ťažnica: ta = 26,9439747586
Ťažnica: tb = 18,18796589627
Ťažnica: tc = 9,35441434669
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,58224343148
Polomer opísanej kružnice: R = 26,10662813309
Súradnice vrcholov: A[30; 0] B[0; 0] C[6,21766666667; 3,21876164401]
Ťažisko: T[12,07222222222; 1,07325388134]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[15; -21,36767481131]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,5; 1,58224343148]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 172,29553071763° = 172°17'43″ = 0,13444722576 rad
∠ B' = β' = 152,63548627086° = 152°38'5″ = 0,4787611746 rad
∠ C' = γ' = 35,07698301151° = 35°4'11″ = 2,532950865 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=7 b=24 c=30
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=7+24+30=61
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=261=30,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=30,5(30,5−7)(30,5−24)(30,5−30) S=2329,44=48,26
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 48,26=13,79 vb=b2 S=242⋅ 48,26=4,02 vc=c2 S=302⋅ 48,26=3,22
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 24⋅ 30242+302−72)=7°42′17" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 3072+302−242)=27°21′55" γ=180°−α−β=180°−7°42′17"−27°21′55"=144°55′49"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=30,548,26=1,58
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,582⋅ 30,57⋅ 24⋅ 30=26,11
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 242+2⋅ 302−72=26,94 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 302+2⋅ 72−242=18,18 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 242−302=9,354
Vypočítať ďaľší trojuholník