Trojuholník 7 8 13

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 7
b = 8
c = 13

Obsah trojuholníka: S = 24,2498711306
Obvod trojuholníka: o = 28
Semiperimeter (poloobvod): s = 14

Uhol ∠ A = α = 27,7965772496° = 27°47'45″ = 0,48551277482 rad
Uhol ∠ B = β = 32,2044227504° = 32°12'15″ = 0,5622069803 rad
Uhol ∠ C = γ = 120° = 2,09443951024 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 6,92882032303
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 6,06221778265
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 3,73105709701

Ťažnica: t_a = 10,21102889283
Ťažnica: t_b = 9,6443650761
Ťažnica: t_c = 3,77549172176

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,73220508076
Polomer opísanej kružnice: R = 7,50655534995

Súradnice vrcholov: A[13; 0] B[0; 0] C[5,92330769231; 3,73105709701]
Ťažisko: T[6,30876923077; 1,24435236567]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6,5; -3,75327767497]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6; 1,73220508076]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 152,2044227504° = 152°12'15″ = 0,48551277482 rad
∠ B' = β' = 147,7965772496° = 147°47'45″ = 0,5622069803 rad
∠ C' = γ' = 60° = 2,09443951024 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 7 b = 8 c = 13

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 7 + 8 + 13 = 28

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 8}{2} = 14

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 14 (14 - 7) (14 - 8) (14 - 13) S = 588 = 24, 25

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 4 , 2 5}{7} = 6, 93 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 4 , 2 5}{8} = 6, 06 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 4 , 2 5}{1 3} = 3, 73

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 1 3 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 1 3}) = 27 ° 4 7^{'} 45 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 1 3 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 1 3}) = 32 ° 1 2^{'} 15 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 27 ° 4 7^{'} 45 " - 32 ° 1 2^{'} 15 " = 120 °

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 4 , 2 5}{1 4} = 1, 73

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 8 \cdot 1 3}{4 \cdot 1 , 7 3 2 \cdot 1 4} = 7, 51

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 10, 21 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 9, 644 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 3, 775

Vypočítať ďaľší trojuholník