Trojuholník 7 9 10
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 7
b = 9
c = 10
Obsah trojuholníka: S = 30,59441170816
Obvod trojuholníka: o = 26
Semiperimeter (poloobvod): s = 13
Uhol ∠ A = α = 42,83334280661° = 42°50' = 0,74875843497 rad
Uhol ∠ B = β = 60,9410718932° = 60°56'27″ = 1,06436161939 rad
Uhol ∠ C = γ = 76,2265853002° = 76°13'33″ = 1,333039211 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 8,7411176309
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 6,79986926848
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 6,11988234163
Ťažnica: ta = 8,84659030065
Ťažnica: tb = 7,36554599313
Ťažnica: tc = 6,32545553203
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,35333936217
Polomer opísanej kružnice: R = 5,14880485474
Súradnice vrcholov: A[10; 0] B[0; 0] C[3,4; 6,11988234163]
Ťažisko: T[4,46766666667; 2,04396078054]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5; 1,22657258446]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4; 2,35333936217]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 137,16765719339° = 137°10' = 0,74875843497 rad
∠ B' = β' = 119,0599281068° = 119°3'33″ = 1,06436161939 rad
∠ C' = γ' = 103,7744146998° = 103°46'27″ = 1,333039211 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=7 b=9 c=10
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=7+9+10=26
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=226=13
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=13(13−7)(13−9)(13−10) S=936=30,59
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 30,59=8,74 vb=b2 S=92⋅ 30,59=6,8 vc=c2 S=102⋅ 30,59=6,12
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 9⋅ 1092+102−72)=42°50′ b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 1072+102−92)=60°56′27" γ=180°−α−β=180°−42°50′−60°56′27"=76°13′33"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=1330,59=2,35
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,353⋅ 137⋅ 9⋅ 10=5,15
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 92+2⋅ 102−72=8,846 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 102+2⋅ 72−92=7,365 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 92−102=6,325
Vypočítať ďaľší trojuholník