Trojuholník 7.5 8.5 11.34
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 7,5
b = 8,5
c = 11,34
Obsah trojuholníka: S = 31,87549910398
Obvod trojuholníka: o = 27,34
Semiperimeter (poloobvod): s = 13,67
Uhol ∠ A = α = 41,40548589186° = 41°24'17″ = 0,72326511145 rad
Uhol ∠ B = β = 48,55221804772° = 48°33'8″ = 0,84773954083 rad
Uhol ∠ C = γ = 90,04329606042° = 90°2'35″ = 1,57215461308 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 8.54999976106
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 7.54999978917
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 5,62216915414
Ťažnica: ta = 9,29330242655
Ťažnica: tb = 8,62332418498
Ťažnica: tc = 5,66657832645
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,33217476986
Polomer opísanej kružnice: R = 5,67700015939
Súradnice vrcholov: A[11,34; 0] B[0; 0] C[4,96545326279; 5,62216915414]
Ťažisko: T[5,43548442093; 1,87438971805]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5,67; -0,00442513894]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,17; 2,33217476986]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 138,59551410814° = 138°35'43″ = 0,72326511145 rad
∠ B' = β' = 131,44878195228° = 131°26'52″ = 0,84773954083 rad
∠ C' = γ' = 89,95770393958° = 89°57'25″ = 1,57215461308 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=7,5 b=8,5 c=11,34
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=7,5+8,5+11,34=27,34
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=227,34=13,67
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=13,67(13,67−7,5)(13,67−8,5)(13,67−11,34) S=1016,02=31,87
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=7,52⋅ 31,87=8,5 vb=b2 S=8,52⋅ 31,87=7,5 vc=c2 S=11,342⋅ 31,87=5,62
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 8,5⋅ 11,348,52+11,342−7,52)=41°24′17" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7,5⋅ 11,347,52+11,342−8,52)=48°33′8" γ=180°−α−β=180°−41°24′17"−48°33′8"=90°2′35"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=13,6731,87=2,33
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,332⋅ 13,677,5⋅ 8,5⋅ 11,34=5,67
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 8,52+2⋅ 11,342−7,52=9,293 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 11,342+2⋅ 7,52−8,52=8,623 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 7,52+2⋅ 8,52−11,342=5,666
Vypočítať ďaľší trojuholník