Trojuholník 8 10 14
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 8
b = 10
c = 14
Obsah trojuholníka: S = 39,19218358845
Obvod trojuholníka: o = 32
Semiperimeter (poloobvod): s = 16
Uhol ∠ A = α = 34,048773237° = 34°2'52″ = 0,59442450327 rad
Uhol ∠ B = β = 44,41553085972° = 44°24'55″ = 0,77551933733 rad
Uhol ∠ C = γ = 101,53769590328° = 101°32'13″ = 1,77221542476 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 9,79879589711
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 7,83883671769
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 5,59988336978
Ťažnica: ta = 11,48991252931
Ťažnica: tb = 10,2476950766
Ťažnica: tc = 5,74545626465
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,44994897428
Polomer opísanej kružnice: R = 7,14443450831
Súradnice vrcholov: A[14; 0] B[0; 0] C[5,71442857143; 5,59988336978]
Ťažisko: T[6,57114285714; 1,86662778993]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7; -1,42988690166]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6; 2,44994897428]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 145,952226763° = 145°57'8″ = 0,59442450327 rad
∠ B' = β' = 135,58546914028° = 135°35'5″ = 0,77551933733 rad
∠ C' = γ' = 78,46330409672° = 78°27'47″ = 1,77221542476 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=8 b=10 c=14
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=8+10+14=32
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=232=16
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=16(16−8)(16−10)(16−14) S=1536=39,19
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 39,19=9,8 vb=b2 S=102⋅ 39,19=7,84 vc=c2 S=142⋅ 39,19=5,6
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 10⋅ 14102+142−82)=34°2′52" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1482+142−102)=44°24′55" γ=180°−α−β=180°−34°2′52"−44°24′55"=101°32′13"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=1639,19=2,45
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,449⋅ 168⋅ 10⋅ 14=7,14
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 102+2⋅ 142−82=11,489 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 142+2⋅ 82−102=10,247 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 102−142=5,745
Vypočítať ďaľší trojuholník