Trojuholník 8 11 13

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 8
b = 11
c = 13

Obsah trojuholníka: S = 43,81878046004
Obvod trojuholníka: o = 32
Semiperimeter (poloobvod): s = 16

Uhol ∠ A = α = 37,79548789633° = 37°47'42″ = 0,66596450783 rad
Uhol ∠ B = β = 57,42110296072° = 57°25'16″ = 1,00221860265 rad
Uhol ∠ C = γ = 84,78440914295° = 84°47'3″ = 1,48797615488 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 10,95444511501
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 7,96768735637
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 6,74112007078

Ťažnica: t_a = 11,35878166916
Ťažnica: t_b = 9,28770878105
Ťažnica: t_c = 7,08987234394

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,73986127875
Polomer opísanej kružnice: R = 6,52770271436

Súradnice vrcholov: A[13; 0] B[0; 0] C[4,30876923077; 6,74112007078]
Ťažisko: T[5,76992307692; 2,24770669026]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6,5; 0,5933366104]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5; 2,73986127875]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 142,20551210367° = 142°12'18″ = 0,66596450783 rad
∠ B' = β' = 122,57989703928° = 122°34'44″ = 1,00221860265 rad
∠ C' = γ' = 95,21659085705° = 95°12'57″ = 1,48797615488 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 8 b = 11 c = 13

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 8 + 11 + 13 = 32

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 2}{2} = 16

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 16 (16 - 8) (16 - 11) (16 - 13) S = 1920 = 43, 82

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 3 , 8 2}{8} = 10, 95 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 3 , 8 2}{1 1} = 7, 97 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 3 , 8 2}{1 3} = 6, 74

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 1 3 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 1 3}) = 37 ° 4 7^{'} 42 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 1 3 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 1 3}) = 57 ° 2 5^{'} 16 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 37 ° 4 7^{'} 42 " - 57 ° 2 5^{'} 16 " = 84 ° 4 7^{'} 3 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 3 , 8 2}{1 6} = 2, 74

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{8 \cdot 1 1 \cdot 1 3}{4 \cdot 2 , 7 3 9 \cdot 1 6} = 6, 53

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 11, 358 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 9, 287 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 7, 089

Vypočítať ďaľší trojuholník