Trojuholník 8 11 14

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 8
b = 11
c = 14

Obsah trojuholníka: S = 43,91439784123
Obvod trojuholníka: o = 33
Semiperimeter (poloobvod): s = 16,5

Uhol ∠ A = α = 34,77219440319° = 34°46'19″ = 0,60768849107 rad
Uhol ∠ B = β = 51,64547342696° = 51°38'41″ = 0,90113706543 rad
Uhol ∠ C = γ = 93,58333216985° = 93°35' = 1,63333370886 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 10,97884946031
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 7,98443597113
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 6,27334254875

Ťažnica: t_a = 11,93773363863
Ťažnica: t_b = 9,98774921777
Ťažnica: t_c = 6,59554529791

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,66114532371
Polomer opísanej kružnice: R = 7,01437120602

Súradnice vrcholov: A[14; 0] B[0; 0] C[4,96442857143; 6,27334254875]
Ťažisko: T[6,32114285714; 2,09111418292]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7; -0,43883570038]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,5; 2,66114532371]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 145,22880559681° = 145°13'41″ = 0,60768849107 rad
∠ B' = β' = 128,35552657304° = 128°21'19″ = 0,90113706543 rad
∠ C' = γ' = 86,41766783015° = 86°25' = 1,63333370886 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 8 b = 11 c = 14

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 8 + 11 + 14 = 33

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 3}{2} = 16, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 16, 5 (16, 5 - 8) (16, 5 - 11) (16, 5 - 14) S = 1928, 44 = 43, 91

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 3 , 9 1}{8} = 10, 98 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 3 , 9 1}{1 1} = 7, 98 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 3 , 9 1}{1 4} = 6, 27

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 1 4 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 1 4}) = 34 ° 4 6^{'} 19 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 1 4 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 1 4}) = 51 ° 3 8^{'} 41 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 34 ° 4 6^{'} 19 " - 51 ° 3 8^{'} 41 " = 93 ° 3 5^{'}

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 3 , 9 1}{1 6 , 5} = 2, 66

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{8 \cdot 1 1 \cdot 1 4}{4 \cdot 2 , 6 6 1 \cdot 1 6 , 5} = 7, 01

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 11, 937 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 9, 987 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 6, 595

Vypočítať ďaľší trojuholník