Trojuholník 8 13 17
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 8
b = 13
c = 17
Obsah trojuholníka: S = 50,08799361022
Obvod trojuholníka: o = 38
Semiperimeter (poloobvod): s = 19
Uhol ∠ A = α = 26,95499559276° = 26°57' = 0,47703654642 rad
Uhol ∠ B = β = 47,43215457967° = 47°25'54″ = 0,82878366435 rad
Uhol ∠ C = γ = 105,61884982757° = 105°37'7″ = 1,84333905459 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 12,52199840255
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 7,70546055542
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 5,89217571885
Ťažnica: ta = 14,59545195193
Ťažnica: tb = 11,58766302263
Ťažnica: tc = 6,65220673478
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,63657861106
Polomer opísanej kružnice: R = 8,82658898553
Súradnice vrcholov: A[17; 0] B[0; 0] C[5,41217647059; 5,89217571885]
Ťažisko: T[7,47105882353; 1,96439190628]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8,5; -2,37662011149]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6; 2,63657861106]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 153,05500440724° = 153°3' = 0,47703654642 rad
∠ B' = β' = 132,56884542033° = 132°34'6″ = 0,82878366435 rad
∠ C' = γ' = 74,38215017244° = 74°22'53″ = 1,84333905459 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=8 b=13 c=17
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=8+13+17=38
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=238=19
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=19(19−8)(19−13)(19−17) S=2508=50,08
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 50,08=12,52 vb=b2 S=132⋅ 50,08=7,7 vc=c2 S=172⋅ 50,08=5,89
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 13⋅ 17132+172−82)=26°57′ b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1782+172−132)=47°25′54" γ=180°−α−β=180°−26°57′−47°25′54"=105°37′7"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=1950,08=2,64
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,636⋅ 198⋅ 13⋅ 17=8,83
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 132+2⋅ 172−82=14,595 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 172+2⋅ 82−132=11,587 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 132−172=6,652
Vypočítať ďaľší trojuholník