Trojuholník 8 15 16
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 8
b = 15
c = 16
Obsah trojuholníka: S = 59,4330106007
Obvod trojuholníka: o = 39
Semiperimeter (poloobvod): s = 19,5
Uhol ∠ A = α = 29,68662952314° = 29°41'11″ = 0,51881235945 rad
Uhol ∠ B = β = 68,21769125021° = 68°13'1″ = 1,19106097287 rad
Uhol ∠ C = γ = 82,09767922665° = 82°5'48″ = 1,43328593304 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 14,85875265017
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 7,92440141343
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 7,42987632509
Ťažnica: ta = 14,98333240638
Ťažnica: tb = 10,18657743937
Ťažnica: tc = 8,97221792225
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,04876977439
Polomer opísanej kružnice: R = 8,07767145181
Súradnice vrcholov: A[16; 0] B[0; 0] C[2,969875; 7,42987632509]
Ťažisko: T[6,32329166667; 2,4766254417]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8; 1,11105482462]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4,5; 3,04876977439]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 150,31437047686° = 150°18'49″ = 0,51881235945 rad
∠ B' = β' = 111,78330874979° = 111°46'59″ = 1,19106097287 rad
∠ C' = γ' = 97,90332077335° = 97°54'12″ = 1,43328593304 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=8 b=15 c=16
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=8+15+16=39
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=239=19,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=19,5(19,5−8)(19,5−15)(19,5−16) S=3531,94=59,43
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 59,43=14,86 vb=b2 S=152⋅ 59,43=7,92 vc=c2 S=162⋅ 59,43=7,43
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 15⋅ 16152+162−82)=29°41′11" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1682+162−152)=68°13′1" γ=180°−α−β=180°−29°41′11"−68°13′1"=82°5′48"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=19,559,43=3,05
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,048⋅ 19,58⋅ 15⋅ 16=8,08
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 152+2⋅ 162−82=14,983 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 162+2⋅ 82−152=10,186 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 152−162=8,972
Vypočítať ďaľší trojuholník