Trojuholník 8 16 20
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 8
b = 16
c = 20
Obsah trojuholníka: S = 60,79547366143
Obvod trojuholníka: o = 44
Semiperimeter (poloobvod): s = 22
Uhol ∠ A = α = 22,33216450092° = 22°19'54″ = 0,39897607328 rad
Uhol ∠ B = β = 49,45883981265° = 49°27'30″ = 0,86332118901 rad
Uhol ∠ C = γ = 108,21099568643° = 108°12'36″ = 1,88986200307 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 15,19986841536
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 7,59993420768
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 6,07994736614
Ťažnica: ta = 17,66435217327
Ťažnica: tb = 12,96114813968
Ťažnica: tc = 7,74659666924
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,76333971188
Polomer opísanej kružnice: R = 10,52772271194
Súradnice vrcholov: A[20; 0] B[0; 0] C[5,2; 6,07994736614]
Ťažisko: T[8,4; 2,02664912205]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10; -3,29897584748]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6; 2,76333971188]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 157,66883549908° = 157°40'6″ = 0,39897607328 rad
∠ B' = β' = 130,54216018735° = 130°32'30″ = 0,86332118901 rad
∠ C' = γ' = 71,79900431357° = 71°47'24″ = 1,88986200307 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=8 b=16 c=20
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=8+16+20=44
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=244=22
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=22(22−8)(22−16)(22−20) S=3696=60,79
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 60,79=15,2 vb=b2 S=162⋅ 60,79=7,6 vc=c2 S=202⋅ 60,79=6,08
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 16⋅ 20162+202−82)=22°19′54" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 2082+202−162)=49°27′30" γ=180°−α−β=180°−22°19′54"−49°27′30"=108°12′36"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=2260,79=2,76
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,763⋅ 228⋅ 16⋅ 20=10,53
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 162+2⋅ 202−82=17,664 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 202+2⋅ 82−162=12,961 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 162−202=7,746
Vypočítať ďaľší trojuholník