Trojuholník 8 19 25
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 8
b = 19
c = 25
Obsah trojuholníka: S = 57,2366352085
Obvod trojuholníka: o = 52
Semiperimeter (poloobvod): s = 26
Uhol ∠ A = α = 13,94552833377° = 13°56'43″ = 0,24333911094 rad
Uhol ∠ B = β = 34,91552062474° = 34°54'55″ = 0,6099385308 rad
Uhol ∠ C = γ = 131,14395104149° = 131°8'22″ = 2,28988162362 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 14,30990880213
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 6,02548791668
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 4,57989081668
Ťažnica: ta = 21,84403296678
Ťažnica: tb = 15,94552187191
Ťažnica: tc = 7,5
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,20113981571
Polomer opísanej kružnice: R = 16,59878432481
Súradnice vrcholov: A[25; 0] B[0; 0] C[6,56; 4,57989081668]
Ťažisko: T[10,52; 1,52663027223]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12,5; -10,92196337159]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7; 2,20113981571]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 166,05547166623° = 166°3'17″ = 0,24333911094 rad
∠ B' = β' = 145,08547937526° = 145°5'5″ = 0,6099385308 rad
∠ C' = γ' = 48,86604895851° = 48°51'38″ = 2,28988162362 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=8 b=19 c=25
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=8+19+25=52
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=252=26
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=26(26−8)(26−19)(26−25) S=3276=57,24
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 57,24=14,31 vb=b2 S=192⋅ 57,24=6,02 vc=c2 S=252⋅ 57,24=4,58
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 19⋅ 25192+252−82)=13°56′43" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 2582+252−192)=34°54′55" γ=180°−α−β=180°−13°56′43"−34°54′55"=131°8′22"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=2657,24=2,2
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,201⋅ 268⋅ 19⋅ 25=16,6
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 192+2⋅ 252−82=21,84 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 252+2⋅ 82−192=15,945 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 192−252=7,5
Vypočítať ďaľší trojuholník