Trojuholník 9 13 15
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 9
b = 13
c = 15
Obsah trojuholníka: S = 58,16551742884
Obvod trojuholníka: o = 37
Semiperimeter (poloobvod): s = 18,5
Uhol ∠ A = α = 36,62443415398° = 36°37'28″ = 0,63992153462 rad
Uhol ∠ B = β = 59,50987077655° = 59°30'31″ = 1,03986228841 rad
Uhol ∠ C = γ = 83,86769506947° = 83°52'1″ = 1,46437544232 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 12,92655942863
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 8,94884883521
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 7,75553565718
Ťažnica: ta = 13,29547358003
Ťažnica: tb = 10,52437825899
Ťažnica: tc = 8,29215619759
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,1444063475
Polomer opísanej kružnice: R = 7,54331734774
Súradnice vrcholov: A[15; 0] B[0; 0] C[4,56766666667; 7,75553565718]
Ťažisko: T[6,52222222222; 2,58551188573]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7,5; 0,80658946023]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,5; 3,1444063475]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 143,37656584602° = 143°22'32″ = 0,63992153462 rad
∠ B' = β' = 120,49112922345° = 120°29'29″ = 1,03986228841 rad
∠ C' = γ' = 96,13330493053° = 96°7'59″ = 1,46437544232 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=9 b=13 c=15
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=9+13+15=37
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=237=18,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=18,5(18,5−9)(18,5−13)(18,5−15) S=3383,19=58,17
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=92⋅ 58,17=12,93 vb=b2 S=132⋅ 58,17=8,95 vc=c2 S=152⋅ 58,17=7,76
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 13⋅ 15132+152−92)=36°37′28" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 9⋅ 1592+152−132)=59°30′31" γ=180°−α−β=180°−36°37′28"−59°30′31"=83°52′1"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=18,558,17=3,14
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,144⋅ 18,59⋅ 13⋅ 15=7,54
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 132+2⋅ 152−92=13,295 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 152+2⋅ 92−132=10,524 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 92+2⋅ 132−152=8,292
Vypočítať ďaľší trojuholník