Trojuholník 9 13 18
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 9
b = 13
c = 18
Obsah trojuholníka: S = 55,4987747702
Obvod trojuholníka: o = 40
Semiperimeter (poloobvod): s = 20
Uhol ∠ A = α = 28,31663682245° = 28°18'59″ = 0,49442138577 rad
Uhol ∠ B = β = 43,24879853748° = 43°14'53″ = 0,75548197396 rad
Uhol ∠ C = γ = 108,43656464007° = 108°26'8″ = 1,89325590562 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 12,33328328227
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 8,53881150311
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 6,16664164113
Ťažnica: ta = 15,04216089565
Ťažnica: tb = 12,65989889012
Ťažnica: tc = 6,63332495807
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,77548873851
Polomer opísanej kružnice: R = 9,48768714822
Súradnice vrcholov: A[18; 0] B[0; 0] C[6,55655555556; 6,16664164113]
Ťažisko: T[8,18551851852; 2,05554721371]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[9; -33,0001217508]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7; 2,77548873851]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 151,68436317755° = 151°41'1″ = 0,49442138577 rad
∠ B' = β' = 136,75220146252° = 136°45'7″ = 0,75548197396 rad
∠ C' = γ' = 71,56443535993° = 71°33'52″ = 1,89325590562 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=9 b=13 c=18
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=9+13+18=40
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=240=20
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=20(20−9)(20−13)(20−18) S=3080=55,5
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=92⋅ 55,5=12,33 vb=b2 S=132⋅ 55,5=8,54 vc=c2 S=182⋅ 55,5=6,17
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 13⋅ 18132+182−92)=28°18′59" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 9⋅ 1892+182−132)=43°14′53" γ=180°−α−β=180°−28°18′59"−43°14′53"=108°26′8"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=2055,5=2,77
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,775⋅ 209⋅ 13⋅ 18=9,49
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 132+2⋅ 182−92=15,042 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 182+2⋅ 92−132=12,659 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 92+2⋅ 132−182=6,633
Vypočítať ďaľší trojuholník