Trojuholník 9 15 21
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 9
b = 15
c = 21
Obsah trojuholníka: S = 58,45767147554
Obvod trojuholníka: o = 45
Semiperimeter (poloobvod): s = 22,5
Uhol ∠ A = α = 21,78767892983° = 21°47'12″ = 0,38802512067 rad
Uhol ∠ B = β = 38,21332107017° = 38°12'48″ = 0,66769463445 rad
Uhol ∠ C = γ = 120° = 2,09443951024 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 12,99903810568
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 7,79442286341
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 5,56773061672
Ťažnica: ta = 17,68547391838
Ťažnica: tb = 14,30990880213
Ťažnica: tc = 6,53883484153
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,59880762114
Polomer opísanej kružnice: R = 12,1244355653
Súradnice vrcholov: A[21; 0] B[0; 0] C[7,07114285714; 5,56773061672]
Ťažisko: T[9,35771428571; 1,85657687224]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10,5; -6,06221778265]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7,5; 2,59880762114]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 158,21332107017° = 158°12'48″ = 0,38802512067 rad
∠ B' = β' = 141,78767892983° = 141°47'12″ = 0,66769463445 rad
∠ C' = γ' = 60° = 2,09443951024 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=9 b=15 c=21
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=9+15+21=45
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=245=22,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=22,5(22,5−9)(22,5−15)(22,5−21) S=3417,19=58,46
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=92⋅ 58,46=12,99 vb=b2 S=152⋅ 58,46=7,79 vc=c2 S=212⋅ 58,46=5,57
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 15⋅ 21152+212−92)=21°47′12" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 9⋅ 2192+212−152)=38°12′48" γ=180°−α−β=180°−21°47′12"−38°12′48"=120°
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=22,558,46=2,6
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,598⋅ 22,59⋅ 15⋅ 21=12,12
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 152+2⋅ 212−92=17,685 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 212+2⋅ 92−152=14,309 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 92+2⋅ 152−212=6,538
Vypočítať ďaľší trojuholník