Trojuholník 9 25 30
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 9
b = 25
c = 30
Obsah trojuholníka: S = 101,50986203236
Obvod trojuholníka: o = 64
Semiperimeter (poloobvod): s = 32
Uhol ∠ A = α = 15,70553094058° = 15°42'19″ = 0,27441093592 rad
Uhol ∠ B = β = 48,75765958652° = 48°45'24″ = 0,85109631299 rad
Uhol ∠ C = γ = 115,5388094729° = 115°32'17″ = 2,01765201645 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 22,5577471183
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 8,12106896259
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 6,76772413549
Ťažnica: ta = 27,24442654517
Ťažnica: tb = 18,28325052988
Ťažnica: tc = 11,3143708499
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,17221443851
Polomer opísanej kružnice: R = 16,62442038816
Súradnice vrcholov: A[30; 0] B[0; 0] C[5,93333333333; 6,76772413549]
Ťažisko: T[11,97877777778; 2,25657471183]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[15; -7,16768790067]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7; 3,17221443851]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 164,29546905942° = 164°17'41″ = 0,27441093592 rad
∠ B' = β' = 131,24334041348° = 131°14'36″ = 0,85109631299 rad
∠ C' = γ' = 64,4621905271° = 64°27'43″ = 2,01765201645 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=9 b=25 c=30
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=9+25+30=64
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=264=32
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=32(32−9)(32−25)(32−30) S=10304=101,51
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=92⋅ 101,51=22,56 vb=b2 S=252⋅ 101,51=8,12 vc=c2 S=302⋅ 101,51=6,77
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 25⋅ 30252+302−92)=15°42′19" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 9⋅ 3092+302−252)=48°45′24" γ=180°−α−β=180°−15°42′19"−48°45′24"=115°32′17"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=32101,51=3,17
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,172⋅ 329⋅ 25⋅ 30=16,62
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 252+2⋅ 302−92=27,244 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 302+2⋅ 92−252=18,283 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 92+2⋅ 252−302=11,314
Vypočítať ďaľší trojuholník