Trojuholník 9 26 30
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 9
b = 26
c = 30
Obsah trojuholníka: S = 111,40443872565
Obvod trojuholníka: o = 65
Semiperimeter (poloobvod): s = 32,5
Uhol ∠ A = α = 16,59878421359° = 16°35'52″ = 0,2989686994 rad
Uhol ∠ B = β = 55,61105672911° = 55°36'38″ = 0,97105874981 rad
Uhol ∠ C = γ = 107,7921590573° = 107°47'30″ = 1,88113181615 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 24,75765305014
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 8,57695682505
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 7,42769591504
Ťažnica: ta = 27,7088302005
Ťažnica: tb = 17,9330421077
Ťažnica: tc = 12,39895116934
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,42878273002
Polomer opísanej kružnice: R = 15,75334190818
Súradnice vrcholov: A[30; 0] B[0; 0] C[5,08333333333; 7,42769591504]
Ťažisko: T[11,69444444444; 2,47656530501]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[15; -4,81435447194]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,5; 3,42878273002]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 163,40221578641° = 163°24'8″ = 0,2989686994 rad
∠ B' = β' = 124,38994327089° = 124°23'22″ = 0,97105874981 rad
∠ C' = γ' = 72,2088409427° = 72°12'30″ = 1,88113181615 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=9 b=26 c=30
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=9+26+30=65
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=265=32,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=32,5(32,5−9)(32,5−26)(32,5−30) S=12410,94=111,4
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=92⋅ 111,4=24,76 vb=b2 S=262⋅ 111,4=8,57 vc=c2 S=302⋅ 111,4=7,43
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 26⋅ 30262+302−92)=16°35′52" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 9⋅ 3092+302−262)=55°36′38" γ=180°−α−β=180°−16°35′52"−55°36′38"=107°47′30"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=32,5111,4=3,43
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,428⋅ 32,59⋅ 26⋅ 30=15,75
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 262+2⋅ 302−92=27,708 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 302+2⋅ 92−262=17,93 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 92+2⋅ 262−302=12,39
Vypočítať ďaľší trojuholník