Trojuholník 9 27 30
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 9
b = 27
c = 30
Obsah trojuholníka: S = 119,39884924528
Obvod trojuholníka: o = 66
Semiperimeter (poloobvod): s = 33
Uhol ∠ A = α = 17,14662099989° = 17°8'46″ = 0,29992578187 rad
Uhol ∠ B = β = 62,18218607153° = 62°10'55″ = 1,08552782045 rad
Uhol ∠ C = γ = 100,67219292858° = 100°40'19″ = 1,75770566304 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 26,53329983228
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 8,84443327743
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 7,96598994969
Ťažnica: ta = 28,18224413421
Ťažnica: tb = 17,55770498661
Ťažnica: tc = 13,4166407865
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,61881361349
Polomer opísanej kružnice: R = 15,26440118192
Súradnice vrcholov: A[30; 0] B[0; 0] C[4,2; 7,96598994969]
Ťažisko: T[11,4; 2,65332998323]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[15; -2,82766688554]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6; 3,61881361349]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 162,85437900011° = 162°51'14″ = 0,29992578187 rad
∠ B' = β' = 117,81881392847° = 117°49'5″ = 1,08552782045 rad
∠ C' = γ' = 79,32880707142° = 79°19'41″ = 1,75770566304 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=9 b=27 c=30
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=9+27+30=66
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=266=33
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=33(33−9)(33−27)(33−30) S=14256=119,4
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=92⋅ 119,4=26,53 vb=b2 S=272⋅ 119,4=8,84 vc=c2 S=302⋅ 119,4=7,96
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 27⋅ 30272+302−92)=17°8′46" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 9⋅ 3092+302−272)=62°10′55" γ=180°−α−β=180°−17°8′46"−62°10′55"=100°40′19"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=33119,4=3,62
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,618⋅ 339⋅ 27⋅ 30=15,26
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 272+2⋅ 302−92=28,182 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 302+2⋅ 92−272=17,557 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 92+2⋅ 272−302=13,416
Vypočítať ďaľší trojuholník