Trojuholník 9 5 10.3

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 9
b = 5
c = 10,3

Obsah trojuholníka: S = 22.549998875
Obvod trojuholníka: o = 24,3
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,15

Uhol ∠ A = α = 60,90216196911° = 60°54'6″ = 1,06329337834 rad
Uhol ∠ B = β = 29,04110845198° = 29°2'28″ = 0,50768625432 rad
Uhol ∠ C = γ = 90,05772957891° = 90°3'26″ = 1,5721796327 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 54,9999975
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 98,9999955
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 4,36989298544

Ťažnica: t_a = 6,7330156016
Ťažnica: t_b = 9,34331793304
Ťažnica: t_c = 5,14656292132

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,85218509259
Polomer opísanej kružnice: R = 5,1550002575

Súradnice vrcholov: A[10,3; 0] B[0; 0] C[7,86884466019; 4,36989298544]
Ťažisko: T[6,05661488673; 1,45663099515]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5,15; -0,00551500026]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7,15; 1,85218509259]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 119,09883803089° = 119°5'54″ = 1,06329337834 rad
∠ B' = β' = 150,95989154802° = 150°57'32″ = 0,50768625432 rad
∠ C' = γ' = 89,94327042109° = 89°56'34″ = 1,5721796327 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 9 b = 5 c = 10, 3

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 9 + 5 + 10, 3 = 24, 3

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 4 , 3}{2} = 12, 15

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 12, 15 (12, 15 - 9) (12, 15 - 5) (12, 15 - 10, 3) S = 506, 25 = 22, 5

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 2 , 5}{9} = 5 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 2 , 5}{5} = 9 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 2 , 5}{1 0 , 3} = 4, 37

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 1 0 , 3 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 1 0 , 3}) = 60 ° 5 4^{'} 6 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 0 , 3 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 0 , 3}) = 29 ° 2^{'} 28 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 60 ° 5 4^{'} 6 " - 29 ° 2^{'} 28 " = 90 ° 3^{'} 26 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 2 , 5}{1 2 , 1 5} = 1, 85

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 \cdot 5 \cdot 1 0 , 3}{4 \cdot 1 , 8 5 2 \cdot 1 2 , 1 5} = 5, 15

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

Vypočítať ďaľší trojuholník