Trojuholník 9 6 10.82
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 9
b = 6
c = 10,82
Obsah trojuholníka: S = 276,9999939331
Obvod trojuholníka: o = 25,82
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,91
Uhol ∠ A = α = 56,28333436383° = 56°17' = 0,98223296605 rad
Uhol ∠ B = β = 33,67882469659° = 33°40'42″ = 0,58877962959 rad
Uhol ∠ C = γ = 90,03884093958° = 90°2'18″ = 1,57114666972 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 65,9999986518
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 98,9999979777
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 4,99107567344
Ťažnica: ta = 7,50224129452
Ťažnica: tb = 9,48987406962
Ťažnica: tc = 5,40766533087
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,0911401544
Polomer opísanej kružnice: R = 5,41100012156
Súradnice vrcholov: A[10,82; 0] B[0; 0] C[7,48994824399; 4,99107567344]
Ťažisko: T[6,10331608133; 1,66435855781]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5,41; -0,00436267045]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,91; 2,0911401544]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 123,71766563617° = 123°43' = 0,98223296605 rad
∠ B' = β' = 146,32217530341° = 146°19'18″ = 0,58877962959 rad
∠ C' = γ' = 89,96215906042° = 89°57'42″ = 1,57114666972 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=9 b=6 c=10,82
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=9+6+10,82=25,82
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=225,82=12,91
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=12,91(12,91−9)(12,91−6)(12,91−10,82) S=729=27
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=92⋅ 27=6 vb=b2 S=62⋅ 27=9 vc=c2 S=10,822⋅ 27=4,99
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 6⋅ 10,8262+10,822−92)=56°17′ b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 9⋅ 10,8292+10,822−62)=33°40′42" γ=180°−α−β=180°−56°17′−33°40′42"=90°2′18"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=12,9127=2,09
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,091⋅ 12,919⋅ 6⋅ 10,82=5,41
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.Vypočítať ďaľší trojuholník