Trojuholník 9.4 10.7 13.3
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 9,4
b = 10,7
c = 13,3
Obsah trojuholníka: S = 49,86994696182
Obvod trojuholníka: o = 33,4
Semiperimeter (poloobvod): s = 16,7
Uhol ∠ A = α = 44,49657901993° = 44°29'45″ = 0,77765980423 rad
Uhol ∠ B = β = 52,9198995454° = 52°55'8″ = 0,92436107075 rad
Uhol ∠ C = γ = 82,58552143467° = 82°35'7″ = 1,44113839038 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 10,61105254507
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 9,32113961903
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 7,49991683636
Ťažnica: ta = 11,11875536877
Ťažnica: tb = 10,1988161599
Ťažnica: tc = 7,56332334355
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,98661957855
Polomer opísanej kružnice: R = 6,70660769357
Súradnice vrcholov: A[13,3; 0] B[0; 0] C[5,66876691729; 7,49991683636]
Ťažisko: T[6,3232556391; 2.54997227879]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6,65; 0,86554292963]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6; 2,98661957855]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 135,50442098007° = 135°30'15″ = 0,77765980423 rad
∠ B' = β' = 127,0811004546° = 127°4'52″ = 0,92436107075 rad
∠ C' = γ' = 97,41547856533° = 97°24'53″ = 1,44113839038 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=9,4 b=10,7 c=13,3
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=9,4+10,7+13,3=33,4
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=233,4=16,7
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=16,7(16,7−9,4)(16,7−10,7)(16,7−13,3) S=2486,96=49,87
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=9,42⋅ 49,87=10,61 vb=b2 S=10,72⋅ 49,87=9,32 vc=c2 S=13,32⋅ 49,87=7,5
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 10,7⋅ 13,310,72+13,32−9,42)=44°29′45" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 9,4⋅ 13,39,42+13,32−10,72)=52°55′8" γ=180°−α−β=180°−44°29′45"−52°55′8"=82°35′7"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=16,749,87=2,99
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,986⋅ 16,79,4⋅ 10,7⋅ 13,3=6,71
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 10,72+2⋅ 13,32−9,42=11,118 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 13,32+2⋅ 9,42−10,72=10,198 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 9,42+2⋅ 10,72−13,32=7,563
Vypočítať ďaľší trojuholník