Pravouhlý trojuholník kalkulačka (B,b)

Zadané odvesna b a uhol β.

Pravouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 3120,89766995032
b = 1198
c = 3342,93328753312

Obsah trojuholníka: S = 1869417,12330024
Obvod trojuholníka: o = 7661,83295748343
Semiperimeter (poloobvod): s = 3830,91547874172

Uhol ∠ A = α = 69° = 1,20442771839 rad
Uhol ∠ B = β = 21° = 0,36765191429 rad
Uhol ∠ C = γ = 90° = 1,57107963268 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 1198
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 3120,89766995032
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 1118,42993509437

Ťažnica: t_a = 1967,28331652415
Ťažnica: t_b = 3177,86604766367
Ťažnica: t_c = 1671,46664376656

Úsek c_a = 429,32548035553
Úsek c_b = 2913,60880717759

Polomer vpísanej kružnice: r = 487,9821912086
Polomer opísanej kružnice: R = 1671,46664376656

Súradnice vrcholov: A[3342,93328753312; 0] B[0; 0] C[2913,60880717759; 1118,42993509437]
Ťažisko: T[2085,51436490357; 372,81097836479]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[1671,46664376656; -0]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2632,91547874172; 487,9821912086]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 111° = 1,20442771839 rad
∠ B' = β' = 159° = 0,36765191429 rad
∠ C' = γ' = 90° = 1,57107963268 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Výpočet trojuholníka prebieha v dvoch fázach. Prvá fáza je taká, že zo vstupných parametrov sa snažíme vypočítať všetky tri strany trojuholníka. Prvá fáza prebieha rôzne pre rôzne zadané trojuholníky. Druhá fáza je vlastne výpočet ostatných charakteristík trojuholníka (z už vypočítaných strán, preto SSS), ako sú uhly, plocha, obvod, výšky, ťažnice, polomery kružníc atď. Niektoré vstupné vstupné údaje vedú aj v dvom až trom správnym riešeniam trojuholníka (napr. ak je zadaný obsah trojuholníka a dve strany - výsledkom je typicky ostrouhlý a aj tupouhlý trojuholník).

1. Zadané vstupné údaje: odvesna b a uhol β

b = 1198 β = 21 °

2. Z úhla β vypočítame uhol α:

α + β + 90 ° = 180 ° α = 90 ° - β = 90 ° - 21 ° = 69 °

3. Z odvesny b a úhla α vypočítame preponu c:

cos α = b : c c = b / cos α = 1198 / cos (69 °) = 3342, 933

4. Z prepony c a úhla α vypočítame odvesnu a:

sin α = a : c a = c \cdot sin α = 3342, 933 \cdot sin (69 °) = 3120, 897

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený. Ďalej preto výpočet je rovnaký a dopočítajú sa ďaľšie jeho vlastnosti - vlastne výpočet trojuholníka zo známych troch strán SSS.

a = 3120, 9 b = 1198 c = 3342, 93

5. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 3120, 9 + 1198 + 3342, 93 = 7661, 83

6. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 6 6 1 , 8 3}{2} = 3830, 91

7. Obsah trojuholníka

S = \frac{a b}{2} = \frac{3 1 2 0 , 9 \cdot 1 1 9 8}{2} = 1869417, 12

8. Výpočet výšiek pravoúhleho trojuholníku z jeho obsahu.

v_{a} = b = 1198 v_{b} = a = 3120, 9 S = \frac{c v _{c}}{2} v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 8 6 9 4 1 7 , 1 2}{3 3 4 2 , 9 3} = 1118, 43

9. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka - základné použitie sínus funkcie

sin α = \frac{a}{c} α = arcsin (\frac{a}{c}) = arcsin (\frac{3 1 2 0 , 9}{3 3 4 2 , 9 3}) = 69 ° sin β = \frac{b}{c} β = arcsin (\frac{b}{c}) = arcsin (\frac{1 1 9 8}{3 3 4 2 , 9 3}) = 21 ° γ = 90 °

10. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 8 6 9 4 1 7 , 1 2}{3 8 3 0 , 9 1} = 487, 98

11. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{c}{2} = \frac{3 3 4 2 , 9 3}{2} = 1671, 47

12. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a}^{2} = b^{2} + (a / 2)^{2} t_{a} = b^{2} + (a / 2)^{2} = 119 8^{2} + (3120, 9 / 2)^{2} = 1967, 283 t_{b}^{2} = a^{2} + (b / 2)^{2} t_{b} = a^{2} + (b / 2)^{2} = 3120, 9^{2} + (1198 / 2)^{2} = 3177, 86 t_{c} = R = \frac{c}{2} = \frac{3 3 4 2 , 9 3}{2} = 1671, 466

Vypočítať ďaľší trojuholník