Pravouhlý trojuholník kalkulačka (A,a) - výsledok

Zadané odvesna a a uhol α.

Pravouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 145
b = 261,58769245144
c = 299,0866474246

Obsah trojuholníka: S = 18965,0522027291
Obvod trojuholníka: o = 705,67333987603
Semiperimeter (poloobvod): s = 352,83766993802

Uhol ∠ A = α = 29° = 0,50661454831 rad
Uhol ∠ B = β = 61° = 1,06546508437 rad
Uhol ∠ C = γ = 90° = 1,57107963268 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 261,58769245144
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 145
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 126,82198575352

Ťažnica: t_a = 271,44879122721
Ťažnica: t_b = 195,2743986412
Ťažnica: t_c = 149,5433237123

Úsek c_a = 228,78990793102
Úsek c_b = 70,29773949357

Polomer vpísanej kružnice: r = 53,75502251342
Polomer opísanej kružnice: R = 149,5433237123

Súradnice vrcholov: A[299,0866474246; 0] B[0; 0] C[70,29773949357; 126,82198575352]
Ťažisko: T[123,12879563939; 42,27332858451]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[149,5433237123; -0]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[91,25497748658; 53,75502251342]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 151° = 0,50661454831 rad
∠ B' = β' = 119° = 1,06546508437 rad
∠ C' = γ' = 90° = 1,57107963268 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Výpočet trojuholníka prebieha v dvoch fázach. Prvá fáza je taká, že zo vstupných parametrov sa snažíme vypočítať všetky tri strany trojuholníka. Prvá fáza prebieha rôzne pre rôzne zadané trojuholníky. Druhá fáza je vlastne výpočet ostatných charakteristík trojuholníka (z už vypočítaných strán, preto SSS), ako sú uhly, plocha, obvod, výšky, ťažnice, polomery kružníc atď. Niektoré vstupné vstupné údaje vedú aj v dvom až trom správnym riešeniam trojuholníka (napr. ak je zadaný obsah trojuholníka a dve strany - výsledkom je typicky ostrouhlý a aj tupouhlý trojuholník).

1. Zadané vstupné údaje: odvesna a a uhol α

a = 145 α = 29 °

2. Z úhla α vypočítame uhol β:

α + β + 90 ° = 180 ° β = 90 ° - α = 90 ° - 29 ° = 61 °

3. Z odvesny a a úhla α vypočítame preponu c:

sin α = a : c c = a / sin α = 145 / sin (29 °) = 299, 086

4. Z odvesny a a prepony c vypočítame odvesnu b - Pytagorova veta:

c^{2} = a^{2} + b^{2} b = c^{2} - a^{2} = 299, 08 6^{2} - 14 5^{2} = 261, 587

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený. Ďalej preto výpočet je rovnaký a dopočítajú sa ďaľšie jeho vlastnosti - vlastne výpočet trojuholníka zo známych troch strán SSS.

a = 145 b = 261, 59 c = 299, 09

5. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 145 + 261, 59 + 299, 09 = 705, 67

6. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 0 5 , 6 7}{2} = 352, 84

7. Obsah trojuholníka

S = \frac{a b}{2} = \frac{1 4 5 \cdot 2 6 1 , 5 9}{2} = 18965, 05

8. Výpočet výšiek pravoúhleho trojuholníku z jeho obsahu.

v_{a} = b = 261, 59 v_{b} = a = 145 S = \frac{c v _{c}}{2} v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 8 9 6 5 , 0 5}{2 9 9 , 0 9} = 126, 82

9. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka - základné použitie sínus funkcie

sin α = \frac{a}{c} α = arcsin (\frac{a}{c}) = arcsin (\frac{1 4 5}{2 9 9 , 0 9}) = 29 ° sin β = \frac{b}{c} β = arcsin (\frac{b}{c}) = arcsin (\frac{2 6 1 , 5 9}{2 9 9 , 0 9}) = 61 ° γ = 90 °

10. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 8 9 6 5 , 0 5}{3 5 2 , 8 4} = 53, 75

11. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{c}{2} = \frac{2 9 9 , 0 9}{2} = 149, 54

12. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a}^{2} = b^{2} + (a / 2)^{2} t_{a} = b^{2} + (a / 2)^{2} = 261, 5 9^{2} + (145 / 2)^{2} = 271, 448 t_{b}^{2} = a^{2} + (b / 2)^{2} t_{b} = a^{2} + (b / 2)^{2} = 14 5^{2} + (261, 59 / 2)^{2} = 195, 274 t_{c} = R = \frac{c}{2} = \frac{2 9 9 , 0 9}{2} = 149, 543

Vypočítať ďaľší trojuholník