Výpočet trojuholníka SSU - výsledok




Prosím zadajte dve strany a nezvierajúci uhol
°


Trojuholník má dve riešenia, strana c=179.9122328667 a c=85.09114448912

#1 Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 153   b = 90   c = 179.9122328667

Obsah trojuholníka: S = 6881.647657151
Obvod trojuholníka: o = 422.9122328667
Semiperimeter (poloobvod): s = 211.4566164333

Uhol ∠ A = α = 58.21216693829° = 58°12'42″ = 1.01659852938 rad
Uhol ∠ B = β = 30° = 0.52435987756 rad
Uhol ∠ C = γ = 91.78883306171° = 91°47'18″ = 1.60220085842 rad

Výška trojuholníka: va = 89.95661643334
Výška trojuholníka: vb = 152.9255479367
Výška trojuholníka: vc = 76.5

Ťažnica: ta = 119.9254863991
Ťažnica: tb = 160.8222022756
Ťažnica: tc = 87.53550701057

Polomer vpísanej kružnice: r = 32.54440811489
Polomer opísanej kružnice: R = 90

Súradnice vrcholov: A[179.9122328667; 0] B[0; 0] C[132.5021886779; 76.5]
Ťažisko: T[104.1388071815; 25.5]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[89.95661643334; -2.80986470795]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[121.4566164333; 32.54440811489]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 121.7888330617° = 121°47'18″ = 1.01659852938 rad
∠ B' = β' = 150° = 0.52435987756 rad
∠ C' = γ' = 88.21216693829° = 88°12'42″ = 1.60220085842 rad




Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Výpočet trojuholníka prebieha v dvoch fázach. Prvá fáza je taká, že zo vstupných parametrov sa snažíme vypočítať všetky tri strany trojuholníka. Prvá fáza prebieha rôzne pre rôzne zadané trojuholníky. Druhá fáza je vlastne výpočet ostatných charakteristík trojuholníka (z už vypočítaných strán, preto SSS), ako sú uhly, plocha, obvod, výšky, ťažnice, polomery kružníc atď. Niektoré vstupné vstupné údaje vedú aj v dvom až trom správnym riešeniam trojuholníka (napr. ak je zadaný obsah trojuholníka a dve strany - výsledkom je typicky ostrouhlý a aj tupouhlý trojuholník).

1. Kosínusová veta

a=153 b=90 β=30  b2=a2+c22accosβ 902=1532+c22 153 c cos(30)  c2265.004c+15309=0  p=1;q=265.004;r=15309 D=q24pr=265.00424115309=8991 D>0  c1,2=q±D2p=265±89912=265±91112 c1,2=132.50188678±47.4104418878 c1=179.912328667 c2=85.0914448912   Sucinovy tvar rovnice:  (c179.912328667)(c85.0914448912)=0   c>0a = 153 \ \\ b = 90 \ \\ β = 30^\circ \ \\ \ \\ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos β \ \\ 90^2 = 153^2 + c^2 -2 \cdot \ 153 \cdot \ c \cdot \ \cos (30^\circ ) \ \\ \ \\ c^2 -265.004c +15309 =0 \ \\ \ \\ p=1; q=-265.004; r=15309 \ \\ D = q^2 - 4pr = 265.004^2 - 4\cdot 1 \cdot 15309 = 8991 \ \\ D>0 \ \\ \ \\ c_{1,2} = \dfrac{ -q \pm \sqrt{ D } }{ 2p } = \dfrac{ 265 \pm \sqrt{ 8991 } }{ 2 } = \dfrac{ 265 \pm 9 \sqrt{ 111 } }{ 2 } \ \\ c_{1,2} = 132.50188678 \pm 47.4104418878 \ \\ c_{1} = 179.912328667 \ \\ c_{2} = 85.0914448912 \ \\ \ \\ \text{ Sucinovy tvar rovnice: } \ \\ (c -179.912328667) (c -85.0914448912) = 0 \ \\ \ \\ \ \\ c>0

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený. Ďalej preto výpočet je rovnaký a dopočítajú sa ďaľšie jeho vlastnosti - vlastne výpočet trojuholníka zo známych troch strán SSS.

a=153 b=90 c=179.91

2. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=153+90+179.91=422.91

3. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=o2=422.912=211.46

4. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=211.46(211.46153)(211.4690)(211.46179.91) S=47357059.54=6881.65

5. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=ava2  va=2 Sa=2 6881.65153=89.96 vb=2 Sb=2 6881.6590=152.93 vc=2 Sc=2 6881.65179.91=76.5

6. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(b2+c2a22bc)=arccos(902+179.91215322 90 179.91)=581242"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(a2+c2b22ac)=arccos(1532+179.9129022 153 179.91)=30 γ=180αβ=180581242"30=914718"

7. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=Ss=6881.65211.46=32.54

8. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=abc4 rs=153 90 179.914 32.544 211.456=90

9. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=2b2+2c2a22=2 902+2 179.91215322=119.925 tb=2c2+2a2b22=2 179.912+2 15329022=160.822 tc=2a2+2b2c22=2 1532+2 902179.9122=87.535





#2 Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 153   b = 90   c = 85.09114448912

Obsah trojuholníka: S = 3254.748776709
Obvod trojuholníka: o = 328.0911444891
Semiperimeter (poloobvod): s = 164.0465722446

Uhol ∠ A = α = 121.7888330617° = 121°47'18″ = 2.12656073598 rad
Uhol ∠ B = β = 30° = 0.52435987756 rad
Uhol ∠ C = γ = 28.21216693829° = 28°12'42″ = 0.49223865182 rad

Výška trojuholníka: va = 42.54657224456
Výška trojuholníka: vb = 72.32877281575
Výška trojuholníka: vc = 76.5

Ťažnica: ta = 42.63883277913
Ťažnica: tb = 115.3254659101
Ťažnica: tc = 118.0866246031

Polomer vpísanej kružnice: r = 19.84404915323
Polomer opísanej kružnice: R = 90

Súradnice vrcholov: A[85.09114448912; 0] B[0; 0] C[132.5021886779; 76.5]
Ťažisko: T[72.53111105567; 25.5]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[42.54657224456; 79.30986470795]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[74.04657224456; 19.84404915323]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 58.21216693829° = 58°12'42″ = 2.12656073598 rad
∠ B' = β' = 150° = 0.52435987756 rad
∠ C' = γ' = 151.7888330617° = 151°47'18″ = 0.49223865182 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Výpočet trojuholníka prebieha v dvoch fázach. Prvá fáza je taká, že zo vstupných parametrov sa snažíme vypočítať všetky tri strany trojuholníka. Prvá fáza prebieha rôzne pre rôzne zadané trojuholníky. Druhá fáza je vlastne výpočet ostatných charakteristík trojuholníka (z už vypočítaných strán, preto SSS), ako sú uhly, plocha, obvod, výšky, ťažnice, polomery kružníc atď. Niektoré vstupné vstupné údaje vedú aj v dvom až trom správnym riešeniam trojuholníka (napr. ak je zadaný obsah trojuholníka a dve strany - výsledkom je typicky ostrouhlý a aj tupouhlý trojuholník).

1. Kosínusová veta

a=153 b=90 β=30  b2=a2+c22accosβ 902=1532+c22 153 c cos(30)  c2265.004c+15309=0  p=1;q=265.004;r=15309 D=q24pr=265.00424115309=8991 D>0  c1,2=q±D2p=265±89912=265±91112 c1,2=132.50188678±47.4104418878 c1=179.912328667 c2=85.0914448912   Sucinovy tvar rovnice:  (c179.912328667)(c85.0914448912)=0   c>0a = 153 \ \\ b = 90 \ \\ β = 30^\circ \ \\ \ \\ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos β \ \\ 90^2 = 153^2 + c^2 -2 \cdot \ 153 \cdot \ c \cdot \ \cos (30^\circ ) \ \\ \ \\ c^2 -265.004c +15309 =0 \ \\ \ \\ p=1; q=-265.004; r=15309 \ \\ D = q^2 - 4pr = 265.004^2 - 4\cdot 1 \cdot 15309 = 8991 \ \\ D>0 \ \\ \ \\ c_{1,2} = \dfrac{ -q \pm \sqrt{ D } }{ 2p } = \dfrac{ 265 \pm \sqrt{ 8991 } }{ 2 } = \dfrac{ 265 \pm 9 \sqrt{ 111 } }{ 2 } \ \\ c_{1,2} = 132.50188678 \pm 47.4104418878 \ \\ c_{1} = 179.912328667 \ \\ c_{2} = 85.0914448912 \ \\ \ \\ \text{ Sucinovy tvar rovnice: } \ \\ (c -179.912328667) (c -85.0914448912) = 0 \ \\ \ \\ \ \\ c>0

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený. Ďalej preto výpočet je rovnaký a dopočítajú sa ďaľšie jeho vlastnosti - vlastne výpočet trojuholníka zo známych troch strán SSS.

a=153 b=90 c=85.09

2. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=153+90+85.09=328.09

3. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=o2=328.092=164.05

4. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=164.05(164.05153)(164.0590)(164.0585.09) S=10593383.03=3254.75

5. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

6. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(b2+c2a22bc)=arccos(902+85.09215322 90 85.09)=1214718"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(a2+c2b22ac)=arccos(1532+85.0929022 153 85.09)=30 γ=180αβ=1801214718"30=281242"

7. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

8. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=abc4 rs=153 90 85.094 19.84 164.046=90

9. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=2b2+2c2a22=2 902+2 85.09215322=42.638 tb=2c2+2a2b22=2 85.092+2 15329022=115.325 tc=2a2+2b2c22=2 1532+2 90285.0922=118.086

Vypočítať ďaľší trojuholník