Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 153
b = 90
c = 179,91

Obsah trojuholníka: S = 6881,6533108677
Obvod trojuholníka: o = 422,91
Semiperimeter (poloobvod): s = 211,455

Uhol ∠ A = α = 58,21329538663° = 58°12'47″ = 1,01660077123 rad
Uhol ∠ B = β = 300,0004595932° = 30°2″ = 0,5243606797 rad
Uhol ∠ C = γ = 91,78765865405° = 91°47'12″ = 1,60219781443 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 89,95662497866
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 152,92656246373
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 76,50110628501

Ťažnica: t_a = 119,9233117246
Ťažnica: t_b = 160,82107202135
Ťažnica: t_c = 87,5366266627

Polomer vpísanej kružnice: r = 32,54442912614
Polomer opísanej kružnice: R = 89,99987496055

Súradnice vrcholov: A[179,91; 0] B[0; 0] C[132,50112731366; 76,50110628501]
Ťažisko: T[104,13770910455; 25.55003542834]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[89,955; -2,80658698403]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[121,455; 32,54442912614]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 121,78770461337° = 121°47'13″ = 1,01660077123 rad
∠ B' = β' = 1509,9995404068° = 149°59'58″ = 0,5243606797 rad
∠ C' = γ' = 88,21334134595° = 88°12'48″ = 1,60219781443 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 153 b = 90 c = 179, 91

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 153 + 90 + 179, 91 = 422, 91

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 2 2 , 9 1}{2} = 211, 46

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 211, 46 (211, 46 - 153) (211, 46 - 90) (211, 46 - 179, 91) S = 47357149, 51 = 6881, 65

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 8 8 1 , 6 5}{1 5 3} = 89, 96 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 8 8 1 , 6 5}{9 0} = 152, 93 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 8 8 1 , 6 5}{1 7 9 , 9 1} = 76, 5

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 0 ^{2} + 1 7 9 , 9 1 ^{2} - 1 5 3 ^{2}}{2 \cdot 9 0 \cdot 1 7 9 , 9 1}) = 58 ° 1 2^{'} 47 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 5 3 ^{2} + 1 7 9 , 9 1 ^{2} - 9 0 ^{2}}{2 \cdot 1 5 3 \cdot 1 7 9 , 9 1}) = 30 ° 2 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 58 ° 1 2^{'} 47 " - 30 ° 2 " = 91 ° 4 7^{'} 12 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 8 8 1 , 6 5}{2 1 1 , 4 6} = 32, 54

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 5 3 \cdot 9 0 \cdot 1 7 9 , 9 1}{4 \cdot 3 2 , 5 4 4 \cdot 2 1 1 , 4 5 5} = 90

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 0 ^{2} + 2 \cdot 1 7 9 , 9 1 ^{2} - 1 5 3 ^{2}}{2} = 119, 923 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 9 , 9 1 ^{2} + 2 \cdot 1 5 3 ^{2} - 9 0 ^{2}}{2} = 160, 821 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 3 ^{2} + 2 \cdot 9 0 ^{2} - 1 7 9 , 9 1 ^{2}}{2} = 87, 536

Vypočítať ďaľší trojuholník