Výpočet trojuholníka SSS - výsledok
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 1
b = 1
c = 1,12
Obsah trojuholníka: S = 0,464395586
Obvod trojuholníka: o = 3,12
Semiperimeter (poloobvod): s = 1,56
Uhol ∠ A = α = 55,94442022574° = 55°56'39″ = 0,97664105268 rad
Uhol ∠ B = β = 55,94442022574° = 55°56'39″ = 0,97664105268 rad
Uhol ∠ C = γ = 68,11215954851° = 68°6'42″ = 1,18987716 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 0,92879117199
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 0,92879117199
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 0,82884926071
Ťažnica: ta = 0,93765895579
Ťažnica: tb = 0,93765895579
Ťažnica: tc = 0,82884926071
Polomer vpísanej kružnice: r = 0,29774076025
Polomer opísanej kružnice: R = 0,6043505687
Súradnice vrcholov: A[1,12; 0] B[0; 0] C[0,56; 0,82884926071]
Ťažisko: T[0,56; 0,27661642024]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[0,56; 0,22549869201]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[0,56; 0,29774076025]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 124,05657977426° = 124°3'21″ = 0,97664105268 rad
∠ B' = β' = 124,05657977426° = 124°3'21″ = 0,97664105268 rad
∠ C' = γ' = 111,88884045149° = 111°53'18″ = 1,18987716 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=1 b=1 c=1,12
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=1+1+1,12=3,12
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=23,12=1,56
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=1,56(1,56−1)(1,56−1)(1,56−1,12) S=0,22=0,46
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=12⋅ 0,46=0,93 vb=b2 S=12⋅ 0,46=0,93 vc=c2 S=1,122⋅ 0,46=0,83
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 1⋅ 1,1212+1,122−12)=55°56′39" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 1⋅ 1,1212+1,122−12)=55°56′39" γ=180°−α−β=180°−55°56′39"−55°56′39"=68°6′42"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=1,560,46=0,3
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 0,297⋅ 1,561⋅ 1⋅ 1,12=0,6
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 12+2⋅ 1,122−12=0,937 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 1,122+2⋅ 12−12=0,937 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 12+2⋅ 12−1,122=0,828
Vypočítať ďaľší trojuholník