Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 1
b = 1,1
c = 0,9

Obsah trojuholníka: S = 0,42442640687
Obvod trojuholníka: o = 3
Semiperimeter (poloobvod): s = 1,5

Uhol ∠ A = α = 58,99224169931° = 58°59'33″ = 1,03296119102 rad
Uhol ∠ B = β = 70,52987793655° = 70°31'44″ = 1,23109594173 rad
Uhol ∠ C = γ = 50,47988036414° = 50°28'44″ = 0,8811021326 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 0,84985281374
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 0,77113892158
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 0,94328090416

Ťažnica: t_a = 0,87217797887
Ťažnica: t_b = 0,77662087348
Ťažnica: t_c = 0,95

Polomer vpísanej kružnice: r = 0,28328427125
Polomer opísanej kružnice: R = 0,58333630945

Súradnice vrcholov: A[0,9; 0] B[0; 0] C[0,33333333333; 0,94328090416]
Ťažisko: T[0,41111111111; 0,31442696805]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[0,45; 0,37112310601]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[0,4; 0,28328427125]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 121,00875830069° = 121°27″ = 1,03296119102 rad
∠ B' = β' = 109,47112206345° = 109°28'16″ = 1,23109594173 rad
∠ C' = γ' = 129,52111963586° = 129°31'16″ = 0,8811021326 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 1 b = 1, 1 c = 0, 9

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 1 + 1, 1 + 0, 9 = 3

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3}{2} = 1, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 1, 5 (1, 5 - 1) (1, 5 - 1, 1) (1, 5 - 0, 9) S = 0, 18 = 0, 42

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 0 , 4 2}{1} = 0, 85 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 0 , 4 2}{1 , 1} = 0, 77 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 0 , 4 2}{0 , 9} = 0, 94

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 , 1 ^{2} + 0 , 9 ^{2} - 1 ^{2}}{2 \cdot 1 , 1 \cdot 0 , 9}) = 58 ° 5 9^{'} 33 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 ^{2} + 0 , 9 ^{2} - 1 , 1 ^{2}}{2 \cdot 1 \cdot 0 , 9}) = 70 ° 3 1^{'} 44 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 58 ° 5 9^{'} 33 " - 70 ° 3 1^{'} 44 " = 50 ° 2 8^{'} 44 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{0 , 4 2}{1 , 5} = 0, 28

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 \cdot 1 , 1 \cdot 0 , 9}{4 \cdot 0 , 2 8 3 \cdot 1 , 5} = 0, 58

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 , 1 ^{2} + 2 \cdot 0 , 9 ^{2} - 1 ^{2}}{2} = 0, 872 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 0 , 9 ^{2} + 2 \cdot 1 ^{2} - 1 , 1 ^{2}}{2} = 0, 776 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 ^{2} + 2 \cdot 1 , 1 ^{2} - 0 , 9 ^{2}}{2} = 0, 95

Vypočítať ďaľší trojuholník