Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 1
b = 1,53
c = 1,35

Obsah trojuholníka: S = 0,66441753082
Obvod trojuholníka: o = 3,88
Semiperimeter (poloobvod): s = 1,94

Uhol ∠ A = α = 40,02443675848° = 40°1'28″ = 0,69985569954 rad
Uhol ∠ B = β = 79,72551471406° = 79°43'31″ = 1,39114663142 rad
Uhol ∠ C = γ = 60,25504852746° = 60°15'2″ = 1,0521569344 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 1,32883506164
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 0,86882030172
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 0,98439634195

Ťažnica: t_a = 1,35334031181
Ťažnica: t_b = 0,9098859175
Ťažnica: t_c = 1,10221909998

Polomer vpísanej kružnice: r = 0,34223584063
Polomer opísanej kružnice: R = 0,7777467927

Súradnice vrcholov: A[1,35; 0] B[0; 0] C[0,17883703704; 0,98439634195]
Ťažisko: T[0,50994567901; 0,32879878065]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[0,675; 0,38657866994]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[0,41; 0,34223584063]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 139,97656324152° = 139°58'32″ = 0,69985569954 rad
∠ B' = β' = 100,27548528594° = 100°16'29″ = 1,39114663142 rad
∠ C' = γ' = 119,75495147254° = 119°44'58″ = 1,0521569344 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 1 b = 1, 53 c = 1, 35

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 1 + 1, 53 + 1, 35 = 3, 88

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 , 8 8}{2} = 1, 94

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 1, 94 (1, 94 - 1) (1, 94 - 1, 53) (1, 94 - 1, 35) S = 0, 44 = 0, 66

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 0 , 6 6}{1} = 1, 33 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 0 , 6 6}{1 , 5 3} = 0, 87 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 0 , 6 6}{1 , 3 5} = 0, 98

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 , 5 3 ^{2} + 1 , 3 5 ^{2} - 1 ^{2}}{2 \cdot 1 , 5 3 \cdot 1 , 3 5}) = 40 ° 1^{'} 28 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 ^{2} + 1 , 3 5 ^{2} - 1 , 5 3 ^{2}}{2 \cdot 1 \cdot 1 , 3 5}) = 79 ° 4 3^{'} 31 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 40 ° 1^{'} 28 " - 79 ° 4 3^{'} 31 " = 60 ° 1 5^{'} 2 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{0 , 6 6}{1 , 9 4} = 0, 34

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 \cdot 1 , 5 3 \cdot 1 , 3 5}{4 \cdot 0 , 3 4 2 \cdot 1 , 9 4} = 0, 78

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

Vypočítať ďaľší trojuholník