Výpočet trojuholníka SSS - výsledok
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 1
b = 1,73
c = 2
Obsah trojuholníka: S = 0,86549981788
Obvod trojuholníka: o = 4,73
Semiperimeter (poloobvod): s = 2,365
Uhol ∠ A = α = 309,9999303539° = 30° = 0,524359756 rad
Uhol ∠ B = β = 59,88224972993° = 59°52'57″ = 1,04551467422 rad
Uhol ∠ C = γ = 90,11875723468° = 90°7'3″ = 1,57328483514 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 1,73299963577
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 10,9999978946
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 0,86549981788
Ťažnica: ta = 1,80217907759
Ťažnica: tb = 1,32435463724
Ťažnica: tc = 0,99882234219
Polomer vpísanej kružnice: r = 0,36657497585
Polomer opísanej kružnice: R = 11,0000021054
Súradnice vrcholov: A[2; 0] B[0; 0] C[0,5021775; 0,86549981788]
Ťažisko: T[0,8343925; 0,28883327263]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[1; -0,00220520274]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[0,635; 0,36657497585]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 1500,0000696461° = 150° = 0,524359756 rad
∠ B' = β' = 120,11875027007° = 120°7'3″ = 1,04551467422 rad
∠ C' = γ' = 89,88224276532° = 89°52'57″ = 1,57328483514 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=1 b=1,73 c=2
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=1+1,73+2=4,73
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=24,73=2,37
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=2,37(2,37−1)(2,37−1,73)(2,37−2) S=0,75=0,86
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=12⋅ 0,86=1,73 vb=b2 S=1,732⋅ 0,86=1 vc=c2 S=22⋅ 0,86=0,86
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 1,73⋅ 21,732+22−12)=30° b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 1⋅ 212+22−1,732)=59°52′57" γ=180°−α−β=180°−30°−59°52′57"=90°7′3"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=2,370,86=0,37
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 0,366⋅ 2,3651⋅ 1,73⋅ 2=1
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 1,732+2⋅ 22−12=1,802 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 22+2⋅ 12−1,732=1,324 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 12+2⋅ 1,732−22=0,998
Vypočítať ďaľší trojuholník