Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 1
b = 3,08
c = 3,24

Obsah trojuholníka: S = 1,54399974545
Obvod trojuholníka: o = 7,32
Semiperimeter (poloobvod): s = 3,66

Uhol ∠ A = α = 17,97773779376° = 17°58'39″ = 0,31437644359 rad
Uhol ∠ B = β = 71,91884478604° = 71°55'6″ = 1,25552137081 rad
Uhol ∠ C = γ = 90,1044174202° = 90°6'15″ = 1,57326145096 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 3,08799949091
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 10,9999983471
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 0,95106157127

Ťažnica: t_a = 3,12112177111
Ťažnica: t_b = 1,83877159737
Ťažnica: t_c = 1,61882706819

Polomer vpísanej kružnice: r = 0,42107643318
Polomer opísanej kružnice: R = 1,62200026777

Súradnice vrcholov: A[3,24; 0] B[0; 0] C[0,31103703704; 0,95106157127]
Ťažisko: T[1,18334567901; 0,31768719042]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[1,62; -0,00329454594]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[0,58; 0,42107643318]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 162,02326220624° = 162°1'21″ = 0,31437644359 rad
∠ B' = β' = 108,08215521396° = 108°4'54″ = 1,25552137081 rad
∠ C' = γ' = 89,8965825798° = 89°53'45″ = 1,57326145096 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 1 b = 3, 08 c = 3, 24

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 , 3 2}{2} = 3, 66

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 3, 66 (3, 66 - 1) (3, 66 - 3, 08) (3, 66 - 3, 24) S = 2, 37 = 1, 54

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 , 5 4}{1} = 3, 08 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 , 5 4}{3 , 0 8} = 1 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 , 5 4}{3 , 2 4} = 0, 95

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{3 , 0 8 ^{2} + 3 , 2 4 ^{2} - 1 ^{2}}{2 \cdot 3 , 0 8 \cdot 3 , 2 4}) = 17 ° 5 8^{'} 39 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 ^{2} + 3 , 2 4 ^{2} - 3 , 0 8 ^{2}}{2 \cdot 1 \cdot 3 , 2 4}) = 71 ° 5 5^{'} 6 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 17 ° 5 8^{'} 39 " - 71 ° 5 5^{'} 6 " = 90 ° 6^{'} 15 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 , 5 4}{3 , 6 6} = 0, 42

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 \cdot 3 , 0 8 \cdot 3 , 2 4}{4 \cdot 0 , 4 2 1 \cdot 3 , 6 6} = 1, 62

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

Vypočítať ďaľší trojuholník