Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 1,4
b = 1
c = 1,4

Obsah trojuholníka: S = 0,65438348415
Obvod trojuholníka: o = 3,8
Semiperimeter (poloobvod): s = 1,9

Uhol ∠ A = α = 69,07551675724° = 69°4'31″ = 1,20655891055 rad
Uhol ∠ B = β = 41,85496648553° = 41°50'59″ = 0,73304144426 rad
Uhol ∠ C = γ = 69,07551675724° = 69°4'31″ = 1,20655891055 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 0,93440497736
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 1,30876696831
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 0,93440497736

Ťažnica: t_a = 0,99549874371
Ťažnica: t_b = 1,30876696831
Ťažnica: t_c = 0,99549874371

Polomer vpísanej kružnice: r = 0,34441236008
Polomer opísanej kružnice: R = 0,74994247306

Súradnice vrcholov: A[1,4; 0] B[0; 0] C[1,04328571429; 0,93440497736]
Ťažisko: T[0,81442857143; 0,31113499245]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[0,7; 0,26876516895]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[0,9; 0,34441236008]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 110,92548324276° = 110°55'29″ = 1,20655891055 rad
∠ B' = β' = 138,15503351447° = 138°9'1″ = 0,73304144426 rad
∠ C' = γ' = 110,92548324276° = 110°55'29″ = 1,20655891055 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 1, 4 b = 1 c = 1, 4

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 1, 4 + 1 + 1, 4 = 3, 8

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 , 8}{2} = 1, 9

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 1, 9 (1, 9 - 1, 4) (1, 9 - 1) (1, 9 - 1, 4) S = 0, 43 = 0, 65

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 0 , 6 5}{1 , 4} = 0, 93 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 0 , 6 5}{1} = 1, 31 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 0 , 6 5}{1 , 4} = 0, 93

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 ^{2} + 1 , 4 ^{2} - 1 , 4 ^{2}}{2 \cdot 1 \cdot 1 , 4}) = 69 ° 4^{'} 31 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 , 4 ^{2} + 1 , 4 ^{2} - 1 ^{2}}{2 \cdot 1 , 4 \cdot 1 , 4}) = 41 ° 5 0^{'} 59 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 69 ° 4^{'} 31 " - 41 ° 5 0^{'} 59 " = 69 ° 4^{'} 31 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{0 , 6 5}{1 , 9} = 0, 34

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 , 4 \cdot 1 \cdot 1 , 4}{4 \cdot 0 , 3 4 4 \cdot 1 , 9} = 0, 75

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 ^{2} + 2 \cdot 1 , 4 ^{2} - 1 , 4 ^{2}}{2} = 0, 995 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 , 4 ^{2} + 2 \cdot 1 , 4 ^{2} - 1 ^{2}}{2} = 1, 308 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 , 4 ^{2} + 2 \cdot 1 ^{2} - 1 , 4 ^{2}}{2} = 0, 995

Vypočítať ďaľší trojuholník