Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 1,73
b = 2,24
c = 2,83

Obsah trojuholníka: S = 1,93875999587
Obvod trojuholníka: o = 6,8
Semiperimeter (poloobvod): s = 3,4

Uhol ∠ A = α = 37,6844097189° = 37°41'3″ = 0,65877115716 rad
Uhol ∠ B = β = 52,32877310067° = 52°19'40″ = 0,91332911962 rad
Uhol ∠ C = γ = 89,98881718043° = 89°59'17″ = 1,57105898858 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 2,24399999523
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 1,73299999631
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 1,36993285927

Ťažnica: t_a = 2,40110466468
Ťažnica: t_b = 2,06107037633
Ťažnica: t_c = 1,41552826573

Polomer vpísanej kružnice: r = 0,57698823408
Polomer opísanej kružnice: R = 1,41550000302

Súradnice vrcholov: A[2,83; 0] B[0; 0] C[1,05772791519; 1,36993285927]
Ťažisko: T[1,29657597173; 0,45664428642]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[1,415; 00,000292114]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1,16; 0,57698823408]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 142,3165902811° = 142°18'57″ = 0,65877115716 rad
∠ B' = β' = 127,67222689933° = 127°40'20″ = 0,91332911962 rad
∠ C' = γ' = 90,01218281957° = 90°43″ = 1,57105898858 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 1, 73 b = 2, 24 c = 2, 83

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 1, 73 + 2, 24 + 2, 83 = 6, 8

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 , 8}{2} = 3, 4

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 3, 4 (3, 4 - 1, 73) (3, 4 - 2, 24) (3, 4 - 2, 83) S = 3, 75 = 1, 94

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 , 9 4}{1 , 7 3} = 2, 24 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 , 9 4}{2 , 2 4} = 1, 73 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 , 9 4}{2 , 8 3} = 1, 37

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 , 2 4 ^{2} + 2 , 8 3 ^{2} - 1 , 7 3 ^{2}}{2 \cdot 2 , 2 4 \cdot 2 , 8 3}) = 37 ° 4 1^{'} 3 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 , 7 3 ^{2} + 2 , 8 3 ^{2} - 2 , 2 4 ^{2}}{2 \cdot 1 , 7 3 \cdot 2 , 8 3}) = 52 ° 1 9^{'} 40 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 37 ° 4 1^{'} 3 " - 52 ° 1 9^{'} 40 " = 89 ° 5 9^{'} 17 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 , 9 4}{3 , 4} = 0, 57

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 , 7 3 \cdot 2 , 2 4 \cdot 2 , 8 3}{4 \cdot 0 , 5 7 \cdot 3 , 4} = 1, 42

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 , 2 4 ^{2} + 2 \cdot 2 , 8 3 ^{2} - 1 , 7 3 ^{2}}{2} = 2, 401 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 , 8 3 ^{2} + 2 \cdot 1 , 7 3 ^{2} - 2 , 2 4 ^{2}}{2} = 2, 061 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 , 7 3 ^{2} + 2 \cdot 2 , 2 4 ^{2} - 2 , 8 3 ^{2}}{2} = 1, 415

Vypočítať ďaľší trojuholník