Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 10
b = 12
c = 15,62

Obsah trojuholníka: S = 609,9999998733
Obvod trojuholníka: o = 37,62
Semiperimeter (poloobvod): s = 18,81

Uhol ∠ A = α = 39,80770974035° = 39°48'26″ = 0,69547649154 rad
Uhol ∠ B = β = 50,19766268221° = 50°11'48″ = 0,87660964114 rad
Uhol ∠ C = γ = 89,99662757743° = 89°59'47″ = 1,57107313268 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 121,9999999747
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 10.9999999789
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 7,68224583705

Ťažnica: t_a = 132,9996999965
Ťažnica: t_b = 11,66215693627
Ťažnica: t_c = 7,81104993438

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,19897926567
Polomer opísanej kružnice: R = 7,81100000165

Súradnice vrcholov: A[15,62; 0] B[0; 0] C[6,40215492958; 7,68224583705]
Ťažisko: T[7,34105164319; 2,56108194568]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7,81; 0,001050765]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,81; 3,19897926567]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 140,19329025965° = 140°11'34″ = 0,69547649154 rad
∠ B' = β' = 129,80333731779° = 129°48'12″ = 0,87660964114 rad
∠ C' = γ' = 90,00437242257° = 90°13″ = 1,57107313268 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 10 b = 12 c = 15, 62

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 10 + 12 + 15, 62 = 37, 62

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 7 , 6 2}{2} = 18, 81

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 18, 81 (18, 81 - 10) (18, 81 - 12) (18, 81 - 15, 62) S = 3600 = 60

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 0}{1 0} = 12 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 0}{1 2} = 10 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 0}{1 5 , 6 2} = 7, 68

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 1 5 , 6 2 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 1 5 , 6 2}) = 39 ° 4 8^{'} 26 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 5 , 6 2 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 5 , 6 2}) = 50 ° 1 1^{'} 48 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 39 ° 4 8^{'} 26 " - 50 ° 1 1^{'} 48 " = 89 ° 5 9^{'} 47 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 0}{1 8 , 8 1} = 3, 19

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 1 2 \cdot 1 5 , 6 2}{4 \cdot 3 , 1 9 \cdot 1 8 , 8 1} = 7, 81

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 5 , 6 2 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 13 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 , 6 2 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 11, 662 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 5 , 6 2 ^{2}}{2} = 7, 81

Vypočítať ďaľší trojuholník